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1、元二次方程根与系数的关系（韦达定理和它的逆定理）教学目标（一）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根 据：（二）使学生会运用根与系数关系解题.教学重点和难点重点：根与系数关系的推导.难点：根与系数关系的运用.教学过程设计（一）引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0（a尹0）的各项系数a,b,c决 定的.我们还知道根的性质（有、无实数根及实数根的个数）由b2-4ac决定.今天我们来研究方 程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.（二）新课从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1x2和a,b
2、,c的关系:方程两个根工】，工2的值两根之和两根之积工2工1 +上2ar2 + 5x + 6 = 0-2- 3-5JX2 - 8j- - 9 = 09-18-9x2 - 3 = 02+2 - Z74- 33x2 - 4x -4 = 024.一 A2jc2 + 7z - 4 = 0-4一子-26tz + 7j: - 3 = 0_ _3_JL5.r2 - 23x + 12 = 0423121. 先从前面三个方程（二次项系数是1）观察xi+x2，xix2的值与一次项系数及常数项的关 系.（两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项）2. 再看后面三个方程（二次项系数不是1），观察x1+x2，x1
3、x2的值与系数的关系.（在把方 程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律）12123. 猜想ax2+bx+c=0 （a尹0）的x +x ,x x与a,b,c的关系（引导学生化为x2+ 尤+ = 01212a ab c后，猜想）为 x1+x2= , X1x2=.4. 怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明 就可以了.证明：设ax2+bx+c=0 （a尹0）的两根为xx则所以5. 读课文以强化印象.6. 为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”如果方程x2+px+q=0的两根是乂己,那么xi+x2=-p,xix2=q.教师必须要
4、求学生能用语言表达上述定理.12“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.（ 这个定理又叫做韦达定理）7. “对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.（这是韦达定理的逆定理）例题讲解例1课本例题例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.,k 6八解：把方程两边都除以5,化为最简二次方程5设两根为JCj, Z2，其中-T1 = 2,所以XX2 = 2-T答:方程的另一个根是-言=-7.另解:因为2是原方程的根，所以5（2）2 + A X26 = O,2 = - 14, k = - 7.所以.ri +
5、 j*2 f = ?所以为蓦二蓦，例3利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的（1）平方和；（2）倒数和.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和 与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方 程的系数代入，算出结果了.解:设方程的两根是心,丑，那么心+工2(1)工+仃=(ll +上2尸- 2心工2 =3_2工讨2 =|2-21例4求一个一元二次方程，使它的两根分别是一、3?2 2分析：“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于 两根之积”.解:因为 X1 +x2= ( -
6、3 yj + 2专=-*,W2 =( -拳 乂是=一亨,所以 jc2 + x- y = 0,即6工2 + 5x - 50 = 0是所求的方程.例5已知两数的和等于8,积等于9,求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8,所以另一个数为8-x.再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.化为一般形式是 X2 - 8x + 9 = 0,得 = 4 + J7 ,卫2 = 4 - J1 .若取其中一个数是4+ /了，则另一个数是8-(4+ 77) = 4-若取其中一个数是4- /了，则另一个数是8-(4- /了)= 4+答:这两个数是4+
7、 /万和4- /7 .J + = 8,解法2：设两个数是x,y,可列出方程组9.这类方程组的解法，我们将在以后学 到.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0. 这就是方法1得到的方程.(三) 课堂练习1. 已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=.2. 已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是().(A) J2(B) /T (C) - vT (D) 03. 已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k=.答案或提示1. 设方程X2- 12x + Z =0的两根分别为11，号，且为=
8、2工2,所以x1 + x2 = 2x2 + x2 = 12.所以 Z2 = 4,zi = 8.故 m = j：ij：2 = 4x8 = 32.2. 设工1，邛是以2 - 1)工2_(& + 1)工+ 1 = 0的两根，所以工1四=寥七=1,龙2 = 2,妇=J2 ,k2= -.当 k = 时，原方程为 /-(乓 + 1)上 + 1 = (),=(历 + 1/- 40,原方程有实根.当k = - J2时，原方程为x2 + ( J2 一 1)工+ 1 = 0, = ( J2 一 I)? 一 4V0, 方程没有实数根；所以会去k = - /I,故选(B).3. 设/ + 3上+ & = 0的两根为工
9、1，工2,且工2 =工1 + 5,所以文i + Z2 =工1 +工1 + 5 = -33 ri = -4,上2 二工 1 + 5 二-4 + 5=1，所以 k = xx2 = (4)X1= - 4.(四) 小结1. 应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式2. 应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代 数里，当且仅当b2-4ac30时，才能应用根与系关系.3. 已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号(五) 作业1. 设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2,且6x1+x2=0,那么q的值等于().(A) -f (
10、B) -2(C) f (D)2. 若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为 ().(A) 9(B) 1 和 18(C) 93 77(D) 933. 已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根().(A) 一定都是奇数(B) 一定都是偶数(C)有可能是真分数(D)有可能是无理数4. (1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.(2) 如果2+ /耳是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.5. 设xx2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关
11、系，求下列各式的值:(1) (xi + l)(x2 + l)；(2)芸 + 甘6. 求一个元二次方程，使它的两个根分别为(1)4、,37. 已知两个数的和等于-6，积等于2,求这两个数.作业的答案或提示.选(B).立蓦，得卜=号，即Z3生即打-壹，故广“、6工1 + 矣=0,12 = 2,2,选(C).原方程可变为3件+ (9-7”?)工+6m =0,因为心+丑=驾与，11工2 =零 由 7m - 9 = 6m,得 m - 9,原方程为 a:2 - 18.r + 18 = 0,所以 x = 9 3 J1 3.选(B).因为方程有实根，所以 = 4/2-钮20得,N2q,又zi +归二-2p,j
12、clx2 = 2q.若壬2都是奇数，则乘积Z1Z2也是奇数，与ZiEHq矛盾.故(A)不成立若心，卫2 都是真分数，则乘积11在也是真分数，与ZM2 = 2g矛盾，故(C)不成立若为，工2有一个是 无理救，则乘积ZB2为无理数，与xyjcz = 2q矛盾；若Z1，Z2两个都是无理数，则其和71 +72 为无理数或0,与X1 +JC2= -2p矛盾，所以(D)不成立.4.(1)解法1：把一 5代入原方程的z处，得125 - 56 - 10 = 0, 6 = 23,由5子+o923 X - 10 = 0,得 zi = - 5, x2 = y，即另一根为亏，6 =23;解法2：因为两根之积为-2,即
13、一5巧=一2,所以x2 = |-，又zi +互=一 *，即A二一5.所以6 = 23；2 5因为互 +(2 + 7) = 4,所以互=2 - /3 c = (2+ /3 )(2 -=1=一2-乏 + 1= ; (2) + =、2 + 工1 _ G 工2 )2 - 2了 12 = ( _ 2)2 _ ( _ 3)22，x2 112工1彳2 一 _33 6. (1) 12_(4一7)+4(-7)=0,即 0)有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式 b2 - 4ac 0，常数项 c 0。2. 如果关于x的方程x2 - x + m = 0有两个不相等的实数根且两根之差的平方和不小于1, 那么实数m的
14、取值范围 。3. 一个直角三角莆的两条直角边的长的和为6cm，面积为7cm2，则这个三角形的斜边长为 cm。4. 矩形的一边为3,对角线长为5,则以矩形相邻两边为根的一元二次方程 为。5. 若关于x的方程mx2 x + m = 0 (m。0)的两根为xx2，(1)用m的代数式来表不+ ； (2)设S = + ，把S用m的代数式表示； x xx x(3) 当S=16时，求m的值并求此时方程两根的和与积。6. 已知：关于 x 的方程x2 - 2、：mx + m -1 = 0 (m 0)(1) 求证；这个方程必有两个不等的实数根；(2) 若m-1=1，试证明：x + x + xx 0 (x，x是原方程的两个根)1212127. 若正数k是4和9的比例中项，(1)求k的值；(2)求证：关于x的方程x2 - kx - k = 0，必定有两根不等实数根；(3)求证：方程的两根必定是一正一负。8 .设企=土 =也=k (a + b + 3 0) cab(1)求k的值；(
