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1、正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1. 概念：对于连续型随机变量X，位于x轴上方，X落在任一区间a,b内的概率等于它与X轴、直线X = a 与直线x = b所围成的曲边梯形的面积如图阴影局部，这条概率曲线叫做X的概率密度曲线，以其作 为图象的函数f (x)叫做X的概率密度函数。2、性质: 概率密度函数所取的每个值均是非负的。 夹于概率密度的曲线与x轴之间的平面图形的面积为1 P(a X b)的值等于由直线x = a，x = b与概率密度曲线、x轴所围成的平面图形的面积。
2、要点二、正态分布1(x u )2正态变量的概率密度函数表达式为：u Q (x) =丁2恭e 2G 2 (x E R)，。0,-8U+8 其中*是随机变量的取值；R为正态变量的期望；。是正态变量的标准差.2.正态分布1定义如果对于任何实数a, b (a b)随机变量X满足：P (a X b) = !中叩(x) dx，则称随机变量X服从正态分布。记为XN(uq2)。2正态分布的期望与方差假设X N(uq2)，则x的期望与方差分别为：ex = u，DX =b2。要点诠释：1正态分布由参数u和b确定。参数u是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。b是 标准差，它是衡量随机
3、变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。2经历说明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；*一地区同年 龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常 生产条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用 寿命等；*地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线1(弟 一)2如果随机变量*的概率密度函数为f (X) =e -
4、2。2 (x e R),其中实数日和b为参数2兀bb 0,一8日+8，则称函数f (X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2. 正态曲线的性质： 曲线位于X轴上方，与X轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线X=日对称； 曲线在X =日时到达峰值；2兀b 当X日时，曲线上升；当X 日时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以*轴为渐 近线，向它无限靠近. 曲线与X轴之间的面积为1； 日决定曲线的位置和对称性；当b 一定时，曲线的对称轴位置由日确定；如以下列图所示，曲线随着日的变化而沿X轴平移。 b确定曲线的形状；当日一定时，曲线的形状由b确定。b越小，曲线越高瘦，表示总体的分布越集中
5、；b越大，曲 线越矮胖，表示总体的分布越分散。如以下列图所示。要点诠释：性质说明了函数具有值域函数值为正及函数的渐近线*轴.性质并且说明了函数具有对称 性；性质说明了函数在*二日时取最值；性质说明b越大，总体分布越分散，b越小，总体分布越集 中.要点四、求正态分布在给定区间上的概率1. 随机变量取值的概率与面积的关系假设随机变量弋服从正态分布N(日,b2)，则对于任意实数a、bab，当随机变量弋在区间a，b上 取值时，其取值的概率与正态曲线与直线*=a，*=b以及*轴所围成的图形的面积相等.如图1中的阴影 局部的面积就是随机变量孝在区间a，b上取值的概率.一般地，当随机变量在区间一8, a上取
6、值时，其取值的概率是正态曲线在*=a左侧以及*轴围成图形 的面积，如图2.随机变量在a，+8上取值的概率是正态曲线在*=a右侧以及*轴围成图形的面积， 如图3.根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进展求解.2、正态分布在三个特殊区间的概率值:P（日一。 X +g） = 0.683；P（日一2。 X p + 2。） = 0.954 ；P （日一 3。 X 日 +。）； P(X v a) = 1 - P(X a)； 假设 b vp，则 P (X v b) = 1-P(四一 b v X W + b)。2(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(p。v X p+。
7、) = 0.6826 ； P(日-2。v X vp + 2。) = 0.9544 ； P(p_ 3。v X 0都是实数J2兀。D. P(x) = ,e 2点兀。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【变式3】如图是三个正态分布*-N0, 0.25，YN0, 1，ZN0, 4的密度曲线，则三个随机变 量*, Y，Z对应曲线分别是图中的、。【答案】。【变式4】正态总体落在区间(0.2,+8)的概率是0.5,则相应的正态曲线在x =时到达最高点。【答案】0.2。由于正态曲线关于直线x = k对称，由题意知k= 0.2。类型三、正态分布的计算例3.随机变量飞服从正态分布N(2,展)，P(4)=0.84，则
8、P(0) = ()【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决。【解析】.PGv4)=0.84, =2, aP(4)= 1-0.84=0.16，应选 A.【总结升华】此题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。举一反三：【变式1】1XN(0,1), k和的值各是多少？ 2X-N(-1,9), K和的值各是多少？【答案】1比照 X N(k,2) 0，X N(0,1)时，K =0, =1。2比照 X N(k,2) 0，X N(-1,9)时，K =-1 2 = 9，所以 K =-1, =3。【变式2】在*次测量中，测量结果&服从正态分布N(1,2) ( 0)，假设&在0,1内取值的概 率为0.4，则&在0, 2内取值的概率为。
