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1、广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷（1月）数学（文）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,选B.2. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以 ，所以的虚部是，选D.3. “”是“” 的（ ）A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以 ，所以“”是“” 的充要条件，选A.4. 函数的最小正周期和最大值分别
2、是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】A【解析】 最小正周期为，最大值为，选A.5. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则（ ）A. 45 B. 30 C. 15 D. 60【答案】A【解析】因为，所以 ，所以 ,选A.6. 已知，函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 因为函数的图象关于直线对称，所以 的值可以是，选D.7. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以舍去A; 因此选D.8. 若函数，则下列选项的命题为真命题的是（ ）A. B. C. D
3、. 【答案】C【解析】 所以A错；，所以B错；C对； D错；选C.9. 一块硬质木料的三视图如图所示，正视图是边长为的正方形，俯视图是的矩形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm【答案】A【解析】由题意得最大球的半径为直角三角形（直角边长为3和4）内切圆的半径，所以 ，选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相
4、垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解10. 在区间上任取两个数且，则使的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为几何概型，测度为面积，概率是 ，选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率11. 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，
5、交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 某地为了调查去年上半年和两种农产品物价每月变化情况，选取数个交易市场统计数据进行分析，用和分别表示和两的当月单价均值（元），下边流程图是对上述数据处理的一种算法（其中），则输出的值分别是（ ） 1月2月3月4月5月6月2.02.12.22.01.91.83.3
6、3.13.13.02.82.8A. B. C. D. 【答案】D【解析】流程图功能为求方差： ，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等差数列满足，则_【答案】9【解析】 14. 已知均为单位向量，它们的夹角为，则_【答案】【解析】 15. 已知实数满足，则的最大值是_【答案】7【解析】作可行域，如图，则 过点A（1,5）时取
7、最大值7点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16. 已知，函数若，则实数的取值范围为_【答案】（0，+）【解析】试题分析：当时，函数单调递增，且，当时，函数单调递增，且，即函数在上单调递增，由，得，解得，则由，得，即；故填考点：1.分段函数；2.函数的单调性【技巧点睛】本题考查分段函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题；解决本题的技巧在于，此题没有直接按分段不等式进行求解，二是先通过研究三角
8、函数和二次函数的单调性，得出分段函数是单调递增，避免了分段讨论，也灵活避开了对参数的讨论，起到的“事半功倍”的效果.三、解答题 17. 已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系得项之间递推关系，再结合等比数列定义以及等比数列通项公式求结果（2）先将数列裂项成相邻两项之差，再根据裂项相消法求和试题解析：解：(1)时，得时，有，所以，即：，满足时，, 所以是公比为2，首项为1的等比数列故通项公式为：(2)点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项
9、相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，, 平面底面，且是边长为的等边三角形，是 中点(1)求证：平面平面；(2)证明：， 且与的面积相等.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由正三角形性质得PMAD，再根据面面垂直性质定理得PM底面ABCD，即得PMBM，利用勾股定理得BMAD，最后根据线面垂直判定定理得BM平面PAD，由面面垂直判定定理得结论（2）利用余弦定理求两角余弦值，结合余弦函数单调性确定两角大小，根据三角形
10、面积公式计算面积，可证相等试题解析： 解：(1)PAD是边长为2的等边三角形, M是AD中点PMAD, PM平面PAD又平面PAD底面ABCD PM底面ABCD平面PAD底面ABCD=AD又BM底面ABCD, PMBM, PMB是直角三角形 在等边PAD中，PM=，又PB=， MB=BAD=60, 在ABM中, 由余弦定理：MB2 = AM2+AB2-2AMABcos60得：AB2 - AB -2=0, 即AB=2， ABD也是等边三角形，BMAD平面PAD底面ABCD=AD BM平面PAD BM底面ABCD BM平面PMB 平面PMB平面PAD （）由（）知底面ABCD是菱形. 连接CM,
11、在DMC中，MDC=120,由余弦定理：MC2 = MD2+CD2-2MDCDcos120 =12+ 22-212=7得： MC=， 在直角形PMC中， ：PC2 =PM2+MC2=在PDC中，由余弦定理：在PAB中，由余弦定理： , ，余弦函数在是减函数PDC PAB， 而， ，即PDC与PAB面积相等. (注：没有通过计算出面积，能够说明面积相等原因的，仍然是满分)19. 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米
12、）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，求两个月恰好在不同季度的概率P参考数据：，（说明：以上数据为3月至7月的数据）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(1) y=0.06x+0.75， 1.47（2） 【解析】试题分析：（1）以此计算，代入公式求方程系数即可；（2）根据题意，的可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和.试题解析：（1）计算可得：，所以，所以从3月份至
13、6月份关于的回归方程为.将2016年的12月份代入回归方程得：，所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.（2）根据题意，的可能取值为1,2,3，所以的分布列为因此，的数学期望.20. 已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值【答案】(1) （2） 【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值试题解析：解：（1）设F1（c，0），抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2c2=1故椭圆的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m22=0， =（t2+1）y1y2+（tmt）（y1+y2）+m2=要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1y2|=，点O到直线AB的距离d=，OAB面积s=当t=0，O
