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1、习 题 解 答习 题 一（A）1用消元法解下列线性方程组：（1）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（2）解 由原方程组得同解方程组所以方程组无解（3）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为（4）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为2用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（2）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（3）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（4）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：3用初等行变换解下列线性方程组：（1）解 ，得方程组的解为（2）解 ，得方程组无解
2、（3）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（4）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（B）1当为何值时，线性方程组有无穷多解，并求解解 当时，方程组有无穷多解，且解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数0.5BAC0.20.70.70.20.30.30.13（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等 3 现设A、B和C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成
3、收入试确定各公司的联合收入及实际收入解 A公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；C公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.习 题 二（A）1利用对角线法则计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式2按定义计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式3利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式 （5），其中解 原式4利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）解 原式（2）解
4、原式（3）解 原式 （4）解 将行列式按第一行展开，得，则，所以5利用行列式展开定理证明：当时，有证 将行列式按第一行展开，得，则，所以 （1）由关于与对称，得 （2）由（1）与（2）解得6利用范德蒙德行列式计算行列式解 原式7设，试求和解 ； 8利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）解 经计算，得，所以方程组的解为（2）解 经计算，得，所以方程组的解为9试问取何值时，齐次线性方程组有非零解解 方程组有非零解，则又，所以10试问、取何值时，齐次线性方程组有非零解解 方程组有非零解，则又，所以或（B）1选择题：（1）设，则( )（A） （B） （C） （D）解 原式选（A）（2）四阶行列式的值等
5、于（ ）（A） （B）（C） （D）解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得选（D）（3）设线性方程组若，则方程组的解为（ ）（A） （B）（C） （D）解 将方程组写成标准形式：有，所以方程组的解为选（C）（4）方程=的根的个数为（ ）（A） （B） （C） （D）解 方法一：将按第1列展开，知为3次多项式，因此有3个根选（C）方法二：有3个根选（C）2计算四阶行列式解 3计算四阶行列式解 4计算阶行列式解 5计算五阶行列式解 方法一：一般地，对于此类阶行列式，将其按第一行展开，得，则，有 ，所以方法二：由习题二（A）的第5题，得当时，有，
6、所以6计算阶行列式解 将行列式按第一行展开，得，则 7已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明能被13整除证 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除8证明:证 构造5阶行列式，则 （1）将按第5列展开，得 （2）比较（1）与（2）右边的系数，知结论成立9证明：当时，齐次线性方程组有非零解证 方程组的系数行列式，当，即时，方程组有非零解10应用题：（1）1；（2）习 题 三（A）1下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵，解 是数量矩阵，也是对角矩阵；、是三角矩阵；都不是2设矩阵（1）计算； （2）若满足，求解 （1
7、）；（2）3设有3阶方阵，且，求解 4计算下列矩阵的乘积：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式（6）解 原式5已知矩阵，求：（1）与； （2）与.解 （1），；（2），6求与矩阵可交换的所有矩阵解 设与可交换的矩阵由，得令，得，其中为任意常数7利用归纳法，计算下列矩阵的次幂，其中为正整数：（1）解 令，有则（2）解 令，有，则（3）解 令，有则8已知矩阵，令，求，其中为正整数解 9若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵证 因为，所以为对称矩阵10利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）解 ，又，所以（2）解 ，又，所以（3）解 ，又，所以（4）解 ，又，所以11
8、解下列矩阵方程：（1）解 （2）设，其中，解 由，得又，则可逆，且经计算，得所以（3）解 ，则12设，且矩阵满足，求矩阵解 等式两边左乘以，得又，上式两边右乘以，得，即，所以13设都是阶矩阵，证明：可逆的充分必要条件是都可逆证 可逆都可逆14设阶方阵满足，证明可逆，并求证 由，得，即，所以可逆，且15设为阶矩阵，且，证明及都是可逆矩阵证 由，得及，所以及都是可逆矩阵16已知为三阶方阵，且，求：（1）； （2）； （3）解 （1）原式（2）原式（3），有原式17设，求解 ，则18（1）设，证明（2）设，且，求与证 （1）（2）由，得，且又，所以19利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）解 将矩阵
9、进行如下分块：，则原式又，所以原式（2）解 将矩阵进行如下分块：，则原式20利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以（2）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以（3）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以21设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以22设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则，所以23（1）设，且阶矩阵和阶矩阵均可逆，试证明（2）设矩阵，其中为非零常数，求证 （1）因为，所以可逆，且（2）将矩阵进行如下分块： ，则又，所以24利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵（1）解 因为，所以不可逆（2）
10、解 ，所以可逆，且（3）解 ，所以可逆，且（4）解 ，所以不可逆25利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）解 ，所以（2）解 将方程两边转置，得由，得26求下列矩阵的秩：（1）解 ，所以（2）解 （3）解 （4）解 27设矩阵，且，求的值解 由，得28设矩阵，问取何值时，使得（1）；（2）；（3）解 ，有当且时，；当时，；当时，29设是矩阵，且的秩为，而，求解 ，则30设为阶矩阵，满足，证明：证 由，得，所以.又，所以.31设三阶矩阵，试求与解 因为32求解下列线性方程组：（1）解 方程组的系数矩阵因为，所以方程组只有零解（2）解 方程组的增广矩阵，所以方程组的解为（3）解 方程组的系数矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数（4）解 方程组的增广矩阵因为，所以方程组无解（5）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数（6）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数33试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解（1）解 方程组的系数行列式当，即且时，方程组有唯一解当时，因为，所以方程组无解当时，因为，所以方程组有无穷多解（2）解 方程组的系数行列式当，即且时，方程组有唯
