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1、自测题八解答、填空题（本题共5小题，每小题 3分，满分15分）：极限limx0y 0/ 22、1 - cos(x y )2-22 x2y(x y )e_22. z=esinx,则-1 =( n2e )ycxfiy (293 .函数z = xy在条件x + y = 1下的极值是(-).4、12222 y4 .交换积分次序dx。f (x, y)dy + L dx I f (x, y)dy =( ( dy1 f (x, y)dy ).2 xy5. J0dxy8cos(x+y)dy = ( 0 )/ 22.2解答提示：1 . 1-cos(x2+y2)-xy,原式= 222x y 八lim=0 .x-0
2、 2ax y y 0 2eo 笈 o.x 上 1 x 2 z x x1f x 人 xj.x2. =-e sin 十e cos ,=e 2 cos - 2 e cos + 3 e sinXy y y；:x.:yy y y y y y3. . z =x(1 -x) =x-x2. 12224. 11dx1 f(x,y)dy+(dxf(x,y)dy=ff +ff =jf (% D2及 D 的图略). 1 xD1D2D2 x5.7t 1817t 818J0dxJy cos(x+y)dy = Jdyj0 y cos(x +y)dx =一1=2y sinydy=0.、单项选择题（本题共5小题，每小题 3分，
3、满分15分）：1 .已知 f (x, y) =ln(x - Jx2 - y2) , x y 0,则 f(x + y,x y)KB；(A)1n()；(B) 21n(爪-Q); (c/nxTny); (D) 21n(Q-y)22 .设函数f(x)处处连续，z= J2 fdt ,则一 =K C ;x：x_2_2_2_22_2(A) f(y2)-f(x2) ； (B) 2yf(y2)2xf(x2); (C) -2xf(x2); (D) 2yf(y2).3 .设xaz = f (ybz),其中a、b为常数，函数 f有连续导数，则：z u ：z a+b=K:xFy(A) 1 ；( B)T； ( C) 0；
4、( D) a + b .4 .设区域 D : x2 + y2 E9 ,则 JJ(xy - xex 烟 + 2)d。= R D 2 . D(A) 2n； ( B) 9ji； ( C) 6町(D) 18兀.5 .设 D: (x2)2+(y 2)2 E1,则积分 I = .(x + y)2d。与 12 = Jf(x+y)3d。的DD大小关系是KC 2 .(A) Ii = I2;( B) I 1 I2；( C) Ii I2；( D)不能判定解答提示：1 . f (x + y, x y) = ln( x + y J(x + y)包=曲立 )x -a_ x - a (x y)2) = ln(x + y 2
5、/y)=ln(7x-7y)2 = 2ln(Vx-/y).3.dz方程x-az = f (ybz)两边求微分得,dx - f dy:z _1：z _ Ta -bfH & a-bf，a a-bf，dx 一 adz = f (dy -bdz),解得:z 八：za b一 =1.；x ：:y4.D(xy - xex2 y2)d v = ：i：Dxyd、! !D xe-x22,”而+3=0 + 0 + 2-18冗.5 .在D上x + y至1 , (x + y)2 Ii .三、计算题（本题共8小题，每小题 6分，满分48分）：z = ln(Vx + y7), 求 x豆+ y 豆.：:x ：:y.:z 11=
6、:. ,.:z 11=-=：=7 .y x , y 2 K:z: zX x . y 1y 二二2.-2二 u-2 xx：y 2( x , y) 2同理,-2, :u一 2x；：2u.x2r3 -(x -a) 3r2(x-a)2 (y-b)2 (z-c)26r23223(x - a) r -r 3(x - a) -r一6r；：2u3(y-b)2 -r22_2:二 u 3(z -c) -r一 2 一y.2.2二 u二 u.2；z= 3(xa)2+(yb)2+(z c)2)3r2=43r23r2=0.3.令 F(x, y, z) =x2+ y2 +z2 -xf (-),则 x二 zjx4.5.解=2
7、x - f -xf (- y2) x设 u = x3z2-:u3=2x z.:z设方程e=2x - fV .1+ y f , Fy = 2y-xf，=2y-f xxFz= 2z,则.:z.xFxFzxf2x2 yf+ tan，求2zx ?u.z：:yFy f - 2yxyzx.2二 u:z :y=xyz-2 .-x ：y：z=0,所以确定隐函数令 F(x, y, z) =exyzxyz,贝U；：4u.2 .x ；yz-2C. 2:xz=z(x, y),/ j 2u、.(_ )=。；y. z求全微分 dz.Fx=yz(exyz -1),Fy=xz(exyz-1), Fz=xy(exyz-1),故
8、6.yz(exyz-1)xy(exyz -1),:z dz =.xdxL, :z，T-二 yfzdy 二 yFy _ xz(exyz -1)Fz xy(exyz-1)-dx - dy .x y计算二重积分 j/Jdy x2dxdy ,其中区域 D : - 1 x 1 , 0y2,设z =z(x, y)由方程x2 + y2 +z2 =xf(y)确定，且f可微，求 xyx2dxdy = jj，yx2dxdy + JJ Jx2ydxdy Di 2 其中 D1: 1 Ex M1,x2 My M2, D2 : -1 x 1,0 y x2.(图略)9 一 .要在半径为 a的半球内做一个内接长方体，使其体积
9、最大，求此长方体 21 2 公-x dy =.鼻(y -x ) x2dx = d-(2 -x ) dx334 1 (23 03 x - 2sint 4 二 2 -.16 二 4-x )的尺寸和体积.dx = 一 4 (2cos t)2d 2 sin t =一 4 cos tdt3 03 01631 1 cos2t 204(T-)2dt 二彳.；。2cos2t1 cos4t、-)dt4,3=-4 (- 2 2cos 2tcos。3t sin3 2D x2 ydxdy :dx=一呼2 一出”3 .x dx4 ? 3二(2cos 2t3 0 2n 43 24 一 3-40 .In8 si等)dt.一
10、二 4+1 +0 =+；2 3则 口-x2|dxdyW+：+；2337.计算二重积分JJ2xy解：以半球的球心为原点建立空间直角坐标系，可设长方体的长+sin Jx2 + y2 )dxdy ,其中区域 D: n2 x2 + y2D 4n2.解积分区域表示为极坐标形式D : jt r 2n,0 62n (图略).则ii2xy3 sin、x2 y2 )dxdy =0 - iisin x2y2dxdy =rsinrdrd1DDD2 二2 二2-= d rsinrdr =2二 r d- 0c ors-2-：) r(2nC OHrc=db-rs2.)8.计算积分odxx二xsin yji0也-：xsin
11、 ydy = jf xsin ydxdy ,其中积分区域,D yD：0ExEn，xEyWn (图略）.积分区域 D可表示为D：0MxMy,0 My Mn .交换原二次积分的积分次序得yxsin y (dy dx 二00 y血百ydy二二 ysin ydy :i ., -0 ydcosyI, =-2(ycosyJI- 0 cos ydy)一jiI冗 冗-sin y。) =3四、应用题（本题共2小题,每小题8分，满分16分）：宽高分别为 2x, 2y, z,其中 0 z = 0 ,22_2_2L； =x + y +z -a =0.J f u得 x = y = z =.,3由实际问题知，当长、宽、高
12、分别为备23京时,有最大体积4 3 3V -amax92 .求曲面z = J2 x2 y2与z = Jx2 + y2所围立体的体积.解 曲面z二2 _ x2 _ y2与z = Jx2 +y2所围立体的体积为:V = | 4 -2 2x - y J-2k + y) . dt史 d y D =( x, y) | x2 + y2 M1(图略).则-DV = j%. ,(42 r2 -r)rdr =2叫 j.2 r2rdr J； r2dr = 4 W -2 江 1 )五、证明题(本题满分6分)设函数f (u, v)具有连续的偏导数，证明方程： f (cx az, cy bz)=0 ,所确定的函数z=z(x,y)满足a +b = c . 二 x 二 y证明 令 F(x, y, z) = f (cxaz, cy- bz) . 12 u = cx az, v=cy bz .：z_ _ Fx_ cfu /_ Fy_ cfv；:x Fz afu bfv ：y Fz afu bfv贝Ua .+b且-a* Jb cfv ,=c,得证.二 x二 yafu bfv afu bfv另证记u = cxaz, v=cy bz . f (cx az ,
