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1、 1 1课时规范练46直线与圆锥曲线一、选择题1.直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是()A.y2=12xB.y2=8xC.y2=6xD.y2=4x答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由弦长结合抛物线定义可得|AB|=x1+x2+p=8.又由AB的中点到y轴的距离可得=2,代入上式可得p=4,故抛物线方程为y2=8x.2.已知任意kR,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)答案:C解析:直线y=
2、kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆=1内部即可.从而m1.又因为椭圆=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).3.已知椭圆C的方程为=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()A.2B.2C.8D.2答案:B解析:根据已知条件c=,则点在椭圆=1(m0)上,=1,可得m=2.4.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案:D解析:设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),因为A,P在双
3、曲线上,所以两式相减,得kPAkPB=,所以e2=.故e=.来源:5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.答案:C解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y,得x2+2tx+t2-1=0.由题意得=(2t)2-5(t2-1)0,即t2b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,-,得=0,即=-,AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2.而=k
4、AB=,.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为=1.故选D.二、填空题来源:7.已知椭圆=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为.答案:+x2=1解析:椭圆=1的右顶点为A(1,0),b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即1=2|x|=2b,a=2,则椭圆方程为+x2=1.8.已知点F(c,0)是双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆F:(x-c)2+y2=c2相切,则双曲线C的离心率为.答案:解析:依题意得,圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c,即有b=c,c2=2b2=2(c
5、2-a2),c2=2a2,即双曲线C的离心率为.9.若直线y=kx+2与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则实数k=.答案:0或解析:联立得k2x2+(4k-4)x+4=0.当k=0时,此方程有唯一的根,满足题意;来源:当k0时,=(4k-4)2-16k2=-32k+16=0,k=.故k=0或k=均满足题意.10.已知直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于.答案:-解析:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P,k2=,k1=,k1k2=.由相减得=-).故k1k2=-.11.已知直线
6、y=k(x-m)与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,且OAOB,又ODAB于D,若动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m=.答案:4解析:D在直线y=k(x-m)上,可设D坐标为(x,k(x-m),OD的斜率k=.ODAB,AB的斜率为k,有kk=-1,即k(x-m)=-.又动点D的坐标满足x2+y2-4x=0,即x2+k(x-m)2-4x=0,将k(x-m)=-代入可解得x=,代入到=-1,化简得4k2-mk2+4-m=0,即(4-m)(k2+1)=0,由于k2+1不可能等于0,只有4-m=0,m=4.三、解答题12.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的
7、直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,求AKF的面积.解:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,又KAF=AFK=60,AFK是正三角形.联立方程组消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由题意得A(3,2),AKF的边长为4,面积为42=4.13.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,),(0,-)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,?此时|的值是多少?解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为a=2的椭圆,它的短半轴长b=1,故
8、曲线C的方程为x2+=1.(2)由消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,=(2k)2-4(k2+4)(-3)=16(k2+3)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由,得x1x2+y1y2=0.而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是x1x2+y1y2=-+1=.由=0,得k=,此时.当k=时,x1+x2=,x1x2=-.|=,而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=+4,所以|=.14.设F1,F2分别是椭圆:=1(ab0)的左、右焦点,过点F1且斜率为1的直线l与椭圆相交于A,B两点,且|AF
9、2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求椭圆的离心率;(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆的方程.解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a.l的方程为y=x+c,其中c=.来源:数理化网设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|=,得a=,故a2=2b2.所以椭圆的离心率e=.(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0=-c,y
10、0=x0+c=.由|PA|=|PB|得kPN=-1,即=-1,得c=3,从而a=3,b=3.故椭圆的方程为=1.15.(20xx浙江金华模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0),M点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足,O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程;(2)以M点为起点的任意两条射线l1,l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于D,E两点,线段AB,DE的中点分别为G,H两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.解:(1),点M(12,8),=(9,6),即N(9,6).又点N在抛物线C上,62=18p,解得p=2.抛物线C的方程为y2=4x
11、.(2)由题意可知:直线l1,l2的斜率存在且不为0,设l1:y=k(x-12)+8,则l2:y=(x-12)+8.由得到ky2-4y+32-48k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=.又y1+y2=k(x1+x2-24)+16,x1+x2=+24,线段AB的中点G.用代替k即可得到点H(2k2-8k+12,2k).kGH=.直线GH:y-2k=x-(2k2-8k+12),令y=0,得到x=10.直线GH过定点(10,0).四、选做题1.已知点F是双曲线=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,ABE是锐角三角形,
12、则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+)B.(1,2)C.(1,1+)D.(2,1+)答案:B解析:因为|EA|=|EB|,所以只要AEB为锐角即可,则点E应在以F为圆心,AB为直径的圆外,则|AF|EF|,由题意知|AF|=,|EF|=a+c,即a+c,所以b20,即e2-e-20),其焦点为F,P(a,b)(a0)为直线y=x与抛物线M的一个交点,|PF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q,使得QAB为等边三角形?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由(舍去).P(2p,2p).|PF|=5,2p+=5,p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)若直线l的斜率不存在,则Q只可能为(-1,0),此时QAB不是等边三角形,舍去.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),来源:数理化网k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2+.设存在Q(-1,m),AB的中点为M,设Q到直线l的距离为d.由题意可知:由
