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1、龙源期刊网 http:/正四面体中的几个性质作者：祁绍锋来源：中学生数理化学研版2014年第01期在立体几何中，正四面体是一种特殊的正三棱锥，它有一些很重要的几何性质.回顾近几 年的高考试题，我们可以发现有关正四面体的问题是考查的一个热点.命题者往往以正四面体 为载体出题，考查立体几何中有关角和距离的知识点，因此我们很有必要系统地整理出它的几 何性质，这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解.我们不妨以棱长是的正四面体为例如右图1, O为底面BCD的中心，AO丄底面BCD, AO为正四面A-BCD的高，ZABO是棱AB与底面BCD所成的角，连结BO延长交CD于点 E,则E为CD中点且BE丄CD，
2、连结AE,则AE丄CD，AE为正四面体的斜高，ZAEO 为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角.一、垂直问题（1）对棱互相垂直（如图1中AB丄CD）简证：因为O是厶ABC的中心，所以BE丄CD，BE是AB在平面BCD内的射影，由三 垂线定理可知AB丄CD.（2）设O1为AO的中点，则BO1、CO1、DO1两两垂直简证：如图 2 中 CO1=DO1=，而 CD=， CO12+DO12=CD2，故ZCO1D=90，即CO1丄DO1，同理可证CO1丄BO1，BO1丄DO1.所以 BO1、 CO1、 DO1 两两垂直.应用举例：如右图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面 ABC的重心，点M在线段DG上，且使得ZAMB=90，则DM的长为.略解：由上可知当M为DG的中点时，满足ZAMB=90。，所以 DM= .二、距离问题
