次序统计量及其分布

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1、 5.3次序统计量及其分布次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj设1 , 2， n是取自分布函数为 F （X）的母体的一个子样，X1 , x2，Xn表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用 X（1）,X（2）,，X（n）表示，即X （1） 0, a w x w b,并且 1 ,2 ,-取自这母体的一个子样，则第i个次序统计量的密度函数为n!gW (i-1)!(njF(心(心 f(以亠 b0,其他(5.

2、24)例5.3设母体有密度函数f (X)”2x,0 X 10,其他（1）（2）（3）”：（4）为从 取出的容量为4的子样的次序统计量。求(3)的密度函数g3（x）和分布函数G3（x），并且计算概率解 母体的分布函数为0, x 乞 0F(x) = x2,0cxi)=1-G3(2)1=1-(2243256)64-3(1)2最大次序统计量(n)的密度函数为n(y)=nF(y)n f (y), a ： y : b0,其他(5.25)最小次序统计量的密度函数为1(y)=n F(y) f (y),a v y cb0,其他(5.26)这两个系的证明是明显的，这是不叙述了。F面我们同样以连续型母体分布为例考虑

3、任何两个次序统计量(i)0, a w x b。并且取自这一母体的一个子样，则其任意两个次序统计量的(i)(j)的联合分布密度函数为n!.JF(y)JF 一 F(y)3(yz)=梓 -1)!(J -i -i)!( n-j)!J卜1 F(z)nf (y)f (z),a 兰 y E b0,其他(5.27)在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例如:(1)在第九章的质量管理一节中就要用到子样 极差Rn= (n)- (1)，即最大与最小次序统计量之差；(2)子样中位数芦()()也是一个常用的函数。 若n是奇数，定义它为n 1 ；若n是偶数，定义它为 J(2 ) 2要推导次序统计量的函数的分布，原则

4、上并不难，只要运用以前学过的方法和定理就可以了，但要算出具体数值可不是一件容易的事，下面我们简略地提一下次序统计量的分布问题。设母体具有分布函数a p英F(x)，若 F (a p)= J(x)dx=p, 0p1,则称 a p 为-的p分位数。设.(1):：:(2)：:：(n)为取自这母体的子样的次序统计量。若k=np+1，则称次序统计量(k)为子样的p 分位数。由于在实际应用中，某些母体的次序统计量分布的计算十分繁重， 为此，我们在这里不加证明地引入下列定理。所以还需要知道子样分位数当容量n；牛时的极限分布。定理5.7设母体 具有密度函数f(x)，a p ( 0pl)为其 p分位数，若 f (x)在点x= a p处连续且大于零,则次序统计量(np d)渐近地服从正态分布N(ap，1P(1 - P)f 2(ap) n(5.28)依概率收敛于a p。显然，当 n：时， (np -1) =(k)