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1、-三角函数型应用题高一1 如图：*污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.米，米，记.1试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；2假设，求此时管道的长度；3问：当取何值时，污水净化效果最好.并求出此时管道的长度.解：1，由于，.(2) 时，,;3=设则由于，所以在单调递减，于是当时时，的最大值米. 答：当或时所铺设的管道最短，为米.2*居民小区建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪铺设三条小路OE、EF和
2、OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EOF=90，如下列图1设BOE=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；2经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低.并求出最低DABCOEF总费用解：(1)在RtBOE中，OB=25, B=90，BOE=，OE=.2分在RtAOF中，OA=25, A=90，AFO=，OF=.4分又EOF=90，EF=,即6分当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；当点E在C点时，这时角最大，求得此时=故此函数的定义域为.8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即
3、可.由1得，设，则，12分由，得，从而，15分当，即BE=25时，,所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.16分3. 如图，ABCD是块边长为100的正方形地皮，其中AST是一半径为90的扇形小山，其余局部都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。QCPSDRABT解：设延长交于令-10故当时，S的最小值为,当 时 S 的4如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,按以下要求写出函数的关系式：1设，
4、将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式；请你选用1中的一个函数关系式，求出的最大值POABQMN解：1因为 ， ， 所以， 2分，所以. 4分因为，所以 6分所以，即， 8分2选择， 12分 13分所以. 14分5 如以下列图，*小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，的接正方形为一水池，外的地方种草,其余地方种花. 假设，设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度.1试用,表示和；2假设为定值，当为何值时,“规划合理度最小.并求出这个最小值1在中，3分设正方形的边长为则，由，得，故所以6分2， 8分令，因为，所以，则10分所以，所以函数在上递减，12分因此当时有最小值，此时14分
5、所以当时，“规划合理度最小，最小值为15分AB2m2mMNEDFPQCCl6 如下列图，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DPAC于P，DQBC于Q；假设平板车卡在直角走廊，且，试求平板面的长 (用表示)；假设平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：1DM=，DN=，MF=，EN=，EF=DM+DN-MF-EN=+= 2“平板车要想顺利通过直角走廊即对任意角，平板车的长度不能通过，即平板车的长度；记，有=，=此后研究函数的最小值，方法很多；如换元记，则或直接求导，以确定函数在上的单调
6、性；当时取得最小值7本小题总分值15分 一铁棒欲通过如下列图的直角走廊，试答复以下问题：1求棒长L关于的函数关系式：；2求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值解：1如图，2令，因为，所以，ABC则，当时，随着的增大而增大，所以所以所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 15分8 如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路AB120 km，BAC75，ABC45有一辆车称甲车以每小时96km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车称乙车以每小时120km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时
7、开出1计算A，C两站距离，及B，C两站距离；2假设甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换3求10点时甲、乙两车的距离参考数据：，1在ABC中，ACB60，2甲车从车站A开到车站C约用时间为小时60分钟，即9点到C站，至9点零10分开出乙车从车站B开到车站C约用时间为小时66分钟，即9点零6分到站，9点零16分开出则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间交换到对方汽车上310点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为，两车的距离等于 9 如下列图，*动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已有两面墙的夹角为60即，现有可供建造第三面
8、围墙的材料6米两面墙的长均大于6米，为了使得小老虎能安康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大.解：在中，由正弦定理：3分化简得：所以8分即12分所以当即时，=14分答：当时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。15分另解：下同10 *港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇1假设希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少.
9、2假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，试设计航行方案即确定航行方向与航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由30AOCD解：1设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s 故当t时，smin10，此时v30即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小2如图，由1得OC10，AC10，故OCAC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC而小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C包含C的任意位置相遇设COD0，则在RtCOD中，CD10tan，OD，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以，解得v又v30，故sin()，从而由于时，tan取得最小值，于是当时，t取得最小值.此时，在AOB中，OAODAD20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. z
