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1、第5章 运筹学模型5.3 层次分析法模型从事各种职业的人都可能面临决策：工厂要决定购买哪些设备；科研人员要选择研究什么课题；医生要为病人选择治疗方案；经理要从应聘人员中选择合适的人员；各地区各部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划做出决策人们在处理上述问题时，要考虑的因素有很多，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往是难以量化的，人们的主观选择会起相当重要的作用，这就给一般的数学方法解决问题带来本质上的困难美国著名的运筹学家TLSaaty等人于20世纪70年代提出一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，称为层次分析法(AHP：Analytic Hie
2、rarchy Process)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，在决策工作中有广泛的应用531 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过程大体是一致的例如，某工厂要从三名技术人员中选派一名骨干人员，主要根据技术能力、品德、资历、贡献等准则去反复比较这三个人首先，要确定这些准则对评价一个技术人员的重要性有多大；其次，会就每一准则将三个人进行对比；最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在中确定最佳人选上述的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：1将决策问题分成三个层次，最上层为目标层，即选择骨干人员；最下层为方案层，有三个人选；中间层为准则层，有
3、技术能力、品德、资历、贡献等准则，各层次之间的联系用相连的直线表示（图1）图5-3-12通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重3将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重在层次分析法中要给出进行综合的计算方法层次分析法将定性分析和定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重1、构造成对比较矩阵在层次分析法中，Saaty等人不是把所有因素放在一起比较，而是采用相对尺度两两相互对比，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度假设要比较某一层
4、个因素对上层一个因素的影响，如上述问题中要比较技术能力等4个准则在选择骨干人员这个目标中的重要性每次取两个因素和，用表示和对的的贡献(或重要性)大小 Saaty给出的比较尺度是按照如下“19比例尺度” 给赋值，列表如下： 表5-3-1尺度含 义与的影响相同比的影响稍强比的影响强比的影响明显地强比的影响绝对地强与的影响之比在上述两个相邻等级之间与的影响之比为上面的倒数全部比较结果可用成对比较矩阵 （1）表示具有（1）式所表示的特点的矩阵叫做正互反矩阵显然，必有如用依次表示技术能力、品德、资历、贡献4个准则，设用成对比较法得到的成对比较矩阵为 （2）（2）中表示技术能力与品德对于选择骨干人员这一目
5、标的重要性之比是；表示技术能力与资历对于选择骨干人员这一目标的重要性之比是；表示品德与资历对于选择骨干人员这一目标的重要性之比是，其他以此类推，表明在选拔骨干人员时，技术能力和贡献这两个因素比较重要，其次是品德，资历再次两两比较后，如何确定总的排序结果呢？2、计算权重向量 设想把一块单位重量的石头砸成个小石块，如果精确地称出它们的重量是，在作成对比较矩阵时令，那么得到一个成对比较矩阵于是,所谓的权重即指各个小石块在大石头中所占的比重,即各个，可用向量表示，且显然，的各个列向量与仅相差一个比例因子从上面矩阵可以看出： ， （4）一般地，如果一个正互反矩阵满足（4），则称为一致性矩阵，简称为一致阵
6、一致阵有下列性质1的秩为1，的惟一非零特征根*为；2的任一列向量都是对应于特征根的特征向量如果得到的成对比较矩阵是一致阵，像（3）式的，自然应取对应于特征根的、归一化的（即分量之和为1）特征向量表示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量如果得到的成对比较矩阵不是一致阵，像（2）式的就不是一致阵，因为，而在实际问题中，对于成对比较不一致的情况，Saaty等人给出了这种不一致的容许范围，在此范围内建议用对应于最大特征根（记作）的归一化后的特征向量作为权向量，即满足 （5）在实际问题中，大多数的成对比较矩阵都不是一致阵，因此就需要计算出对应于的最大特征根和归一化后的特征向量由定义计算矩阵的特征根
7、和特征向量是相当困难的，特别是矩阵的阶数比较高时；另一方面，因为成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它做精确计算是不必要的，所以完全可以用简便的近似计算方法计算其特征根和特征向量，下面介绍两种3、求和的简便算法（1）幂法a 任取维归一化的初始向量,并指定精度要求；b 计算；c 归一化，即令；d 对于预先给定的精度，当时，即为所求的特征向量；否则，返回b；d 计算最大特征根这是求最大特征根对应特征向量的迭代方法，迭代次数越多，精确度越高，实际计算时，只要求达到一定精度即可（2）和法a 将A的每一列向量归一化得；b 对按行求和得；c 将归一化，即为近似特征向量；d 计算，作为最大
8、特征根的近似值和法是一种相当简便的算法，比较适用于层次分析法中关于最大特征是和特征向量的计算例如， 精确计算给出，二者相比，非常接近按照上述方法，（2）中的矩阵通过计算得；，、一致性检验成对比较矩阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在允许范围内怎样确定这个范围呢？Saaty将定义为一致性指标时，为一致阵；越大，的不一致程度越严重随机一致性指标数值如下：表5-3-2 表中时，是因为阶的正互反矩阵总是一致阵一致性比率，当时，可以认为的不一致程度在允许范围内，可用其特征向量作为权向量用Saaty给出的一致性检验的计算法，计算得（2）式的矩阵的
9、一致性指标，随机一致性指标，所以一致性比率，一致性检验通过，上述可作为权向量通过上述过程就得到了第二层（即准则层）对第一层（即目标层）的权向量用同样的方法构造第三层对第二层的成对比较矩阵该问题中有四个矩阵，分别表示技术能力、品德、资历、贡献这个准则对个候选人员的成对比较矩阵其中，中表示就技术能力这一因素而言，和能力之比是；中表示就贡献这一因素而言，和之比是；其他以此类推由第3层的成对比较矩阵计算出权向量，最大特征根和一致性指标，结果列入下表表5-3-3 以上成对比较矩阵都通过了一致性检验、计算组合权向量记各准则对目标的权向量为，即第二层对第一层的权向量；各方案对每一准则的权向量记为，计算各方案
10、对目标的权向量，称为组合权向量，记作对于人员，它在技术能力等4个准则中的权重用的第一个分量表示（表5-3-3中这一行中4个矩阵的第一个分量），而4个准则对于目标的权重又用权向量，所以人员 图5-3-2在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即同样可以算出和在目标中的组合权重为和，于是组合权向量结果表明人员在选择骨干人员中占的权重远大于和，应选作为最佳人选由上述计算可知，对于三个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2层分别有个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为以为列向量构成矩阵则第3层对第1层的组合权向量为 （6）更一般地，若共有层，则第层对第1层（设只有1个因素）的组合权
11、向量满足 （7）其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵于是最下层（第层）对最上层的组合权向量为 （8）6、组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据组合一致性检验可逐层进行，若第层的一致性指标为（是第层因素的数目），随机一致性指标为，定义则第层的组合一致性比率为第层通过组合一致性检验的条件为定义最下层（第层）对第1层的组合一致性比率为，对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验在选择骨干人员的决策问题中可以算出，前面已经有，于是，组合一致性检验通过
12、前面得到的组合权向量可以作为最终抉择的依据层次分析法的基本步骤归纳如下1建立层次结构模型 在深入分析面临的问题后，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次 最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层为方案层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层（准则层有时可以分为若干个子层）2构造（成对比较矩阵）判断矩阵 从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层3计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率作一致性检验 若检
13、验通过，特征向量归一化后即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较矩阵4计算组合权向量并做组合一致性检验 利用 式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验；若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率太大的成对比较矩阵例1 某厂决定上马新产品，现有三种新产品可供选择，由于人力，财力的限制，只能从中选择一种，主要考虑以下因素：（1）研发成本；（2）市场前景；（3）预期效益，试做出合理的选择1）建立层次结构模型将决策问题分解成三个层次，最上层为目标层，即选择新产品；最下层为方案层，即三种产品；中间为准则层，包括研发成本、市场前景及预期效益等三个因素 图5-3-32）模型求解 构造成对比较矩阵：将准则层中三个因素两两比较，得成对比较矩阵，求解的特征值，易解得，且权重向量由公式得，于是，通过了一致性检验 构造成对比较矩阵、及，将由上述的三个成对比较矩阵计算出的权重向量，最大特征根和一致性指
