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1、从一个疑惑中所引出的圆锥曲线焦点弦性质吴享平（福建省厦门第一中学361000）.“疑惑”的分析与解答 文的问题213有如下一道题：题目： 直线过抛物线的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果M为RS的中点，则等于 。问题提出者给出了两种解法：解法所得结果为MF|=；解法得到结果为MF，由于得到了两个不同结果，从而对以上两种解法和题目产生了疑惑，笔者再给出如下的解法：解法：（如图所示）抛物线的焦点F,准线：，设直线PQ的方程为：,P,则联立消去x得，由此可得，于是M，又由=得，将（*）式代入（*）式得.所得结果与解法、解法所得结果都不相同，难道
2、真是解法或题目有问题吗？事实上，题目本身并没有问题（当然，再加上条件会更严密些），解法、解法以及笔者的解法所得结果都是正确的（因为他们是等价的），由于抛抛物线的焦点弦有如下一个性质：性质：对于抛物线，若存在过焦点F的弦PQ,使得FPa，FQb（），则.证明：（如图所示）不妨设a,准线与x轴交于点N，） 当时过Q作QG/分别交x轴与直线PR于E,G两点，则与相似，由相似比可得，于是；）当a=b时，由抛物线定义知显然成立。综上述），）知结论成立.证明：以为极点，射线FX为极轴（单位长不变）建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为：，设直线PQ的倾斜角为，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得两式相加得
3、.由以上性质知，抛物线的焦参数p由题设中的a,b唯一确定，即.将代入（）式得FM|=.同样，将代入解法的结果得.因此，题目、解法、解法以及笔者的解法都是正确的。.圆锥曲线焦点弦的共性探究受证明的启发，我们不难得到三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点弦被该焦点所内分成的两条焦半径的一个共同性质：定理：如果圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）C的焦点弦被该焦点所内分成的两条焦半径长分别为a和b，p为该圆锥曲线C的焦点F到其对应准线的距离，为该圆锥曲线C的离心率，那么成等差数列（或称是与的等差中项）。即.证明：以该圆锥曲线C的焦点F为极点，Fx为极轴（如图所示）建立极坐标系，则圆锥曲线的极坐标方程
4、为：，设直线PQ的倾斜角为，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得两式相加得.（双曲线时，由焦点F内分，满足）。由于圆锥曲线的通径（即与圆锥曲线的焦点所在的对称轴垂直的焦点弦）长为，由此可得如下推论。推论：对于确定的圆锥曲线C，其焦点弦被该焦点所内分成的两条焦半径长的倒数和为定值，这个定值为通径长的倒数的4倍。定理：如果线段AB是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）C的一条通过焦点F的焦点弦，焦点F分有向线段的定比分点的比值为，直线AB与圆锥曲线C的焦点F所在的对称轴的夹角为（），p为该圆锥曲线C的焦点F到其对应准线的距离，为该圆锥曲线的离心率，则且.证明：以该圆锥曲线C的焦点F为极点，Fx为极轴
5、（如图所示）建立极坐标系，设焦点F到圆锥曲线的相应准线的距离为p，则圆锥曲线的极坐标方程为：，设直线AB的倾斜角为（），设A、B点的极坐标分别为，则；，由于，.且AB（无论F是内分有向线段,还是外分有向线段（A,B在双曲线不同支）、两式均成立）.更加有趣的是：将与两式中的都用替换代入，化简后表达式不变。因此无论是F分的比值，还是F分的比值，公式：与均成立.定理的应用例1.（2010年高考全国卷理科）已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若，则k= （ ）（A）1 （B） （C） （D）2解:由定理得，又由斜率k0,D正确选项为（B）。例2.（2010年高考全国卷（）
6、理科）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为 。解：如图，设，在中可得，又由定理得.例3.过双曲线C:的右焦点F作直线与该双曲线相交于A,B两点，若弦长|AB|=且，则。解：双曲线C:的，由定理得解得：为，或共四个值.例4.(2011年浙江高考理科17题）设分别为椭圆的左，右焦点，点A，B在椭圆上。若则点A的坐标是 。解：如图，延长交椭圆于点，由椭圆的对称性得，设直线与x轴的夹角为，该椭圆的,，由定理得（若在此，通过数形结合，发现A为短轴端点，就可很快获得结果；否则，记则，又由定理得即，设则A为短轴两端点）点A的坐标为.例5.（20
7、10年高考辽宁卷理科）设椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为（）求椭圆C的离心率；（）如果求椭圆C的方程。解：（）由定理得，解得离心率；（）由得，于是解得，所求椭圆方程为. 例6.已知过抛物线的焦点F的一条焦点弦，被焦点F所分成的两条焦半径长分别记为和5，（）求此抛物线的方程；（）求这条焦点弦所在直线的方程。解：（）由定理得，于是所求抛物线方程为；（）由定理得又直线的斜率，焦点弦所在直线方程为.例7.通过抛物线的焦点F的任意一条焦点弦，被焦点F所分成的两条焦半径长分别记为m,n。（i）求m,n的取值范围；（ii）求2m+n的最小值.解：（i）设P是抛物线上的任意一点，由抛物线定义知PF|=1+,；（ii），由定理得 当且仅当（此时） 时取到等号，.例8.已知通过椭圆C：左焦点F的n条直线（），且与该椭圆相交所得到的焦点弦被焦点F所分成的两条焦半径长分别记为（），（I）求u的取值范围；（II）若，求。解：（I），e=，p=,由定理得，又，记则（），由数形结合得；（II），.参考文献：汪仁林.“争鸣”问题213数学通讯J.2012(2)下半月（教师）1
