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1、实验名称：数值积分算法误差分析1.实验原理1) 欧拉法原理在数学和计算机科学中，欧拉方法(Euler method)命名自它的发明 者莱昂哈德欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常 微分方 程(即初值问题)求解。它是一种解决常微分方程数值积分的最基本的一 类显型方法(Explicit method) o微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就 是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是 用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler) 算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不 在工程中单独进行运算。所谓数值求
2、解，就是求问题的解y(x)在一系列 点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：J =f (x，y)，x a,bdxy(a) = yO可以将区间a,b分成n段，那么方程在第*点有y( *)= f(X,y(xJ)，再用向前差商近似代替导数则为：(血叮皿)阳乂田)h，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出y+1 来：洪门一，九亍93沁二,1,2 这就是欧拉格式，若初值y +1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解中,y2 o1)龙哥库塔法原理数值分析中，龙格一库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分 方程 的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技
3、术由数学家卡尔龙格和 马丁威尔海姆库塔于1900年左右发明。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“ RK4或者就是“龙格库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初 值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。令初值问题表述如下。y = /), y(to) = yo则，对于该问题的RK曲如下方程给出：hVn-l = Vn +言古局I42鬲+如其中A1 =j (bl i Urt + gkj血 3 = f n + , Un I 舄)呛=广(tn + k伽+ h如这样，下一个值(yQ由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的 斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平
4、均：.k是时间段开始时的斜率； i.k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率*来决定V在点tn + h/2 的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率kJ夬定y值；.k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：kj+ 2A2 + 2&3 + 氐 4 slope =.RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4 阶。2实验方案1) 目标方程为dy 七yy(0) = 1对该方程进行分析可知，该方程一阶微分方程，为y对t的微分2) 子函数程序：subf.m 文件 fun cti on dy = subf(t,y) dy = (1-t)
5、*y;3) 目标方程解析解 H = dsolve(Dy=(1-t)*y,y(0)=1,t)得到：H 二 exp(1)Jk(1/2)/exp(t - 1)八 2/2)3.实验程序1)欧拉法仿真脚本程序clear%欧拉法 h = 0.1;tN = 10;t = 0:h:tN;N = length(t);y(i) = i;j = i;for j = 1:NdataY(j) = y(1);yn = y+h*subf(t(j),y);y = yn;end%解析解法ezplot( exp(1)A(1/2)/exp(t - 1)a2/2),0 10)hold onplot(t,dataY, r+);lege
6、nd(解析解法，欧拉法)2)龙哥库塔法仿真脚本程序clear%龙哥库塔h = 0.1; tN =法0;t = 0:h:tN;N = length(t); y(1) = 1;j = 1;forj = 1:NdataY(j) = y(1);K1 = subf(t(j),y);K2 = subf(t(j)+h/2,y+1/2*h*K1);K3 = subf(t(j)+h/2,y+1/2*h*K2);K4 = subf(t(j)+h,y+h*K3);yn = y+h/6*(K1 + 2*K2 + 2*K3 +K4); y =yn;end%解析解法ezplot( exp(1)Jl(1/2)/exp(t
7、- 1)八 2/2),0 10)hold onplot(t,dataY, ro);legend(解析解法,四阶龙哥库塔法)5.仿真结果欧拉法步长h = 0.1exp(1)i/2/expt ”俨尼012345678910(2)欧拉法步长h = 0.01(3)四阶龙哥库塔法 步长h = 0.1exp( 1)v2/exp(t-1A/2)012345673310(4)四阶龙哥库塔法 步长h = 0.01解析解法+ 四阶龙哥库塔法-012345676910exp(1)i/2/exp(t - 1)2/2)解析解法二I阶龙哥库塔法(5)四阶龙哥库塔法步长h = 0.5解析解法四阶龙哥庠塔法-5.实验结果分析由仿真结果可知欧拉法取不同步长，其误差有较大差异，步长 越小，误差越少，但计算量也将越大。因此使用时应选取合适的步长。 四阶龙哥库塔法取不同步长，仿真曲线不变误差不变，由此可知，四 阶龙哥库塔法精度与步长无关，但由步长为h = 0.5在后面的数据有 很大的偏离，因此步长不宜去太大。欧拉法与四阶龙格库塔法相比 较，前者精度受步长影响较大，后者较小。
