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1、计算方法简明教程习题解析（同名48868）第一章绪论解：近似值/的相对误差为de；X* X*1.设x（m的相对误差为厂求阮的误差。而lnx的误差为八（lnx*）=lnx*-lnx?_La*x*进而有（lnx*）aS2?设x的相对误差为2%,求JE的相对误差解：设心则函数的条件数为一鹉又丁=加，/C=1V/VI-H广n攵？6（5）2Cp吗（卅）且_（卅）为2?.弓（人*）”）0.02/z3 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x;=1.1021,x*=0.031,=385.6,兀;=56.4305X5=7x1.0.解：x;=1.10
2、21是五位有效数字；乐0.03】是二位有效数字；X;=385.6是四位有效数字；=56.430是五位有效数字；-7x1.0?是二位有效数字。4 .利用公式(2?3)求下列各近似值的误差限：。%+兀；+兀篇(2)兀；兀；，(3)兀;/兀：？其中斤工用工均为第3题所给的数。解：=（兀：）=10 （xJ） = AxlO f （x;=A-xlO -欧*） = -AxlO巩兀；）=*灯0*（1）（X;+X;+X:）二（，：）+*；）+（兀）=-xlO4+-xlOJ+-xlO-3222=1.05xl0-3巩x;x;x;）二|x:x；|g（x；）+|x;x;IX；）+|x;x;|叙；）=|1.1021x0.
3、031|xlxl0,+|0.031x385.6|xlxl0-4+|l.l021x385.6|xlxl0-3A0.215（X；/用x;b（分+|x;（x;）0.03IxlxlO3+56.430x-xlO3256.430x56.430=10”1,问度量半径R5计算球体积要使相对误差限为时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为心言寸用则何种函数的条件数为又？*）=i故度量半径R时允许的相对误差限为八（/?*）=1XU0.3336.设y。=28,按递推公式匕*一需皿（n=l,2,.算到%。若取x/783=27.982（5位有效数字），算人”将有多大误差？解：处知-总帚殛fV7X3100100X*-V7
4、831100依次代入后，有忌胡-100x佥屈即八=）计试问计八-7783 ,若取皿?27.982,?Koo*-27.982?您；)o)=讹)+(27.982)=_Lx10”2?亿的误差限为卜叽7 .求方程x2-56x+l=0的两个根，使它至少具有4位有效数字(J#=27.982)o解：x2-56A+1=09X2=28-V783 =fmii 故方程的根应为=28士/783故召=28+/78328+27.982=55.98228+27.982-55.98228+V783r具有5位有效数字兀具有5位有效数字8 .当N充分大时，怎样求广心？dx=arctan(7V+1)arctanNa=arctan(
5、N+l),0=arctailN贝!|tana=N+1,tan0=M=a_P=arctan(tan(cr0)tana-tanfl=arctanl+tantan0N+lN=arctan=arctan9.正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过i加？解：正方形的面积函数为心）?.（4*）=2A?当X*=100时，若则八（x*）0当增加时，S*的绝对误差增加巧曲一当年加时，皿）保持不变，则S口的相对误差减少。11 .序列儿满足递推关系儿=1叽-1（n=l,2,），若屁1.41（三位有效数字），计算到九时误多大？这个计算过程稳定吗?解：yjo=/2?1.41?-(J*)=卜10又
6、？儿=10儿-|-1?儿=1。儿一1?(中)=10心*)(),2*)=10女才*)?A(y2*)=102A(j0*).?.(皿*)=10他(胪)=叽冶计算到九时误差为卜，这个计算过程不稳定。12 .计算/=(/2-1)6,取V2.1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好？3外需7,99-70屁解:设y=(x-D6,X=y/29X*=1.4,贝0S(X*)=xlO-1O2若通过占计算y值，则共/)=6x7-!-?%./)(X+1)=r-(X+1)=2?53(X)若通过(3-2歼计算y值，则丸/)=|-3x2x(3-2x*)2|*(x*)64r4=7)3-2x=30y*S(A?)计算y值，则
7、e(/)=3x!TT吒(+)(3+2x)4=6x)(3+2x)7=1.0345y*s(x)通过言古矛计算后得到的结果最好。13?/(x)=ln(龙一疔刁，求/(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价oln(xy/x2=-ln(x+Jx2计算，求对数时误差有多大？解/(A)=1咻-&一1)，/(30)=In(30-V899)设zi=V899,y=/(30)则u=29.9833/. S( M*) = gxlO-4心”|30-M*如)10.0167,共。23x10”若改用等价公式ln(x-v%2-1)=-ln(x+vA2-1)贝/(30)=ln(3O+a/a)止匕时，
8、心*30而)一1如)59.9833a8x10第一章误差1.试举例，说明什么是模型误差，什么是方法误差？解:例如，把地球近似看为一个标准球体，利用公式A=4兀尸计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中，要用到兀？我们利用无穷乘积公式计算兀的值：c 2 2其中7T=2?4的其中我们取前9项的乘积作为n的近似值得g3.141587725.这个去掉兀的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误琵也成为截断误差.2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解：
9、816.966.000017.3231.235793.1820.0152363?下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字?81.8970.008136.320050.1800解：五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示，问有多少位有效数字?解：两位问:a+b.axaQ有几位有效数字？5.若1.1062,/?=0.947，是经过舍入后得到的近似值，解：已知|da|v_LxlOHLTv2又a+b=0.20532x10rW(+Z?)|=_Lx10-4+-x10-3=0.55xIO-3-x1O2,222所以a+b有三位有效数宇；因为？xZ?=0.10475714xl0fd(ax/
10、A)|=Z?=0.947_Lx10+1.1062_Lx10=0.60045xIOlxIO2222所以axb有三位有效数宇？6?设x=0.9863*2=0.0062,是经过舍入后作为州，吃的近似值？求扯的计算值与真值的相对误差限及心与真值的相对误差限.解：已知=x+drpx2=y2+cLv,cLVj=x104,dr2=*xlO*dr(X?x2)=IxlO-4dr =dr(x)= 乜JchA. i硝5旷;1x10Adv2dr-二d(x7)=Jdr(x,)+dr(x2)?O.5OxlO4+O.81xlO2AO.82xlO”27.正方形的边长约为100cm，应该怎样测量才能使其面积的误差不超过lcm2
11、.解：设正方形面积为S，边长为a，则S=a2所以要使：d$=d/=2r/d，则要求“则要求必一疵皿x10F以边刚误差不能超过0.5x.&用观测恒星的方法求得某地维度为4502”(读至U秒)，试问：计算显有多大误差？解：d(sin0)=cos0乙P=cos(4500”)一l.M9?真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式*松尸确定，g是重力加速度？现在假设g是准确的，而对t的测量有?的误差，证明t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明：因为g百寸.dse/drQtdt/、d/.ds=g/d/;=2?cktIH成反比，所以当d/版定的时候，t熠加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10.设的相对误差为6求心的绝对误差.角军：已知色=3,所以Inx的绝对误差d(lnx)=-=U.设丫的相对误差为求的相对误差.?dX1nxAdxndx12.计算球的体积，为了使相对误差限为1%问度量半径R时允许的相对误差限如何？解：已知U=才兀一则要使得R旧设dr(V)=dV=|dlnV|=|dln/?3|=3|dln/?|=3|dln/?|=3dr(/?)=3?=l%,M?=ll%.V
