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1、 中学立体几何学问点总结一 、空间几何体一 空间几何体的类型 1 多面体：由假设干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。二 几种空间几何体的构造特征 1 、棱柱的构造特征 1.1 棱柱的定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。图1-1 棱柱 1.2 棱柱的分类棱柱底面是四边形四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直
2、平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体性质：、侧面都是平行四边形，且各侧棱相互平行且相等； 、两底面是全等多边形且相互平行；、平行于底面的截面和底面全等； 棱柱的面积和体积公式是底周长，是高S直棱柱外表 = ch+ 2S底V棱柱 = S底 h2 、棱锥的构造特征 2.1 棱锥的定义 1 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2正棱锥：假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的构造特征 、 平行于底面的截面是与底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的距离与
3、顶点究竟面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ABCDPOH正棱锥侧面积：为底周长，为斜高体积：为底面积，为高正四面体：对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。对棱间的距离为正方体的边长正四面体的高正四面体的体积为正四面体的中心究竟面与顶点的距离之比为3 、棱台的构造特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的局部称为棱台。3.2 正棱台的构造特征 1各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；2
4、正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； 3正棱台的对角面也是等腰梯形； 4各侧棱的延长线交于一点。4 、圆柱的构造特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。4.2 圆柱的性质1上、下底及平行于底面的截面都是等圆； 2过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2rh (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2 r h + 2 r2 V圆柱 = S底h = r2h5、圆锥的构造特征5.1 圆锥的定义：以直角三角
5、形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2 圆锥的构造特征 1 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比；图1-5 圆锥 2轴截面是等腰三角形； 3母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6、圆台的构造特征 6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的局部称为圆台。 6.2 圆台的构造特征 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形； 圆台常常补成圆锥
6、，然后利用相像三角形进展探讨。 6.3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = (R + r)l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = r2 + R2 + (R + r)l V圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h为圆台的高) 7 球的构造特征 7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的构造特征 球心与截面圆心的连线垂直于截面； 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 d2 7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多
7、面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的根本思路是： 依据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的相宜的切割面，然后做出剖面图； 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； 留意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 R2 (R为球半径) V球 = 4/3 R3三空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积棱柱、棱锥的外表积：各个面面积之和圆柱的外表积 ： 圆锥的外表积：圆台的外表积： 球的外表积：扇形的面积公式其中表示弧长，表示半径，表示弧
8、度空间几何体的体积柱体的体积 ： 锥体的体积 ： 台体的体积 ： 球体的体积： 四空间几何体的三视图和直观图 正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面对右边正投影，得到的投影图。画三视图的原那么：正俯长相等、正侧高一样、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：1平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；2平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；3画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤：1画轴2画底面3画侧棱4成图二 、点、直线、平面之间的关系一
9、、立体几何网络图：公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理三垂线定理1、线线平行的推断： 1、平行于同始终线的两直线平行。3、假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。6、假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 12、垂直于同一平面的两直线平行。2、线线垂直的推断： 7、在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。8、在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。10、假设始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内全部直线。补充：一条直线和
10、两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的推断： 2、假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。5、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。判定定理：性质定理：推断或证明线面平行的方法 利用定义(反证法)：，那么 (用于推断)； 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于推断)。2 线面斜交和线面角： = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：假设直线与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。 2.2 线面角的范
11、围：0，90图2-3 线面角 留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，=0； 当直线垂直于平面时，=904、线面垂直的推断： 假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。始终线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。假如两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。判定定理：性质定理：1假设直线垂直于平面，那么它垂直于平面内随意一条直线。即： 2垂直于同一平面的两直线平行。 即：推断或证明线面垂直的方法 利用定义，用反证法证明。 利用判定定理证明。 一条直线垂直于平面而平行于另一
12、条直线，那么另一条直线也垂直与平面。 一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么也垂直于另一个。 假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，那么该直线垂直于另一平面。 1.5 三垂线定理及其逆定理图2-7 斜线定理 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的全部线段中， 斜线相等那么射影相等，斜线越长那么射影越长，垂线段最短。 如图： 三垂线定理及其逆定理 PO，斜线PA在平面内的射影为OA，a是平面内的一条直线。 三垂线定理：假设aOA，那么aPA。即垂直射影那么垂直斜线。 三垂线定理逆定理：假设aPA，那么aOA。即垂直斜线那么垂直射影。图2-8 三垂线定理 三垂线定理及其逆定理的主要应
13、用 证明异面直线垂直； 作出和证明二面角的平面角； 作点到线的垂线段。5、面面平行的推断： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。6、面面垂直的推断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面相互垂直。判定定理： 性质定理： 假设两面垂直，那么这两个平面的二面角的平面角为90；23图2-10 面面垂直性质2 4 图2-11 面面垂直性质3二、其他定理：1确定平面的条件：不公线的三点；直线和直线外一点；相交直线； 2直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交垂直是它的特别状况 ；平面与平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；3等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向一样，那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；4射影定理斜线长、射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影
