《第二章 &amp#167;23 233 点到直线的距离公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 &amp#167;23 233 点到直线的距离公式（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、23.3点到直线的距离公式【学习目标】1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与 逻辑推理素养.2掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.【导语】距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距 离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点 与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？一、点到直线距离公式的推导问题1如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l： Ax+By+C=O(AMO, BHO), 怎样求出点P到直线l的距离呢？提示 根据定义，点P到
2、直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线Bl的垂线为厂，垂足为Q,由厂丄l可知厂的斜率为A，*lz的方程为yy0=A(xx0),与l联立方程组,问题2上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？提示 推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离 公式化简复杂.问题3向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？提示PQ可以看作PM在直线l的垂线上的投影向量，直线l： Ax+By+C=O(ABHO)的斜率所以m = (B,A)是它的一个方向向量.由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量A
3、2+B2(A，B). 在直线l上任取点M(x, y),可得向量PM=(xx0, yy0).f fIAx0+By0+CI IPQI = IPQI = IPM nI=00.A2+B2【知识梳理】IAx0+By0+CI距离公式：d=00.A2+B2注意点：(1) 利用公式时直线的方程必须是一般式；(2) 分子含有绝对值；(3) 若直线方程为Ax+By+C=O,则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.二、点到直线距离公式的简单应用例1(1)点P(1,2)到直线2x+y10=0的距离为.(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B( 1,4)到直线mx+y
4、+3 = 0的距离相等，则实数m的值等 于.答案(1)2； 5 (2)6 或1解析(1)由点到直线的距离公式得I - 1X2 + 2X1 - 10I+ 1+ 1I3m + 2 + 3I I - m + 4 + 3I 依题意得I3m + 5I 二 Im - 7I ,3m + 5 二 m - 7 或 3m + 5 = 7 - m ,1- 2一一m或6反思感悟点到直线的距离的求解方法(1) 求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可(2) 若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组) 即可跟踪训练1 (多选)若点P(3, a)到
5、直线x+、By4=0的距离为1,则a的值为()AAi3 B./3 C?33 D.33答案 AD13 + 伍-41 lV3a-1l解析由题意得二一2二1，1+32解得a二才3或a二-乎.三、点到直线距离公式的综合应用例2已知点P(2,1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.解 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x二2 ,符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y + 1 = k(x - 2),即kx-y-2k-1=0,l2k1l由点到直线的距离公式得1 1二2 ,1+k2解得k二3，所以直线l的方程为3x - 4y - 10二0.故直线l的方程为x二2或3x-4y- 10 =
6、0.延伸探究 求过点P(2，- 1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解 设原点为O，连接OP(图略),易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.由l丄OP ,得气.kop= - 1 ,所以 k1 二 2.lkop所以直线l的方程为y + 1 = 2(x - 2),即2x - y - 5 = 0 ,即直线2x-y-5 = 0是过点P且与原点距离最大的直线，| - 51最大距离为一二：55反思感悟 解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想， 直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的跟踪训练2已知直线l过点M( 1,2),且点A(2
7、,3), B(4,5)到l的距离相等，求直线l的方 程解 方法一 当过点M( - 1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x二-1, 此时点A(2,3)与点B( - 4,5)到直线l的距离相等，故x =- 1满足题意；当过点M( - 1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y-2二k(x+1),即 kx - y + k + 2 二 0.由点A(2,3)与 B( - 4,5)到直线l的距离相等，/曰 l2k-3 + k + 2l_l-4k-5 + k + 2l解得k =_扌，此时 I 的方程为 y - 2 二-3(x + 1),即 x + 3y - 5 二 0.综上所述，直线l的方程为x
8、=-1或x + 3y-5 = 0.方法二 由题意得lAB或l过线段AB的中点.当lAB时，设直线AB的斜率为k，直线l的斜率为匕,ABl 31则 kl = kAB = -二-3 此时直线l的方程为y - 2二-1(兀+ 1),即 x + 3y - 5 = 0.当l过AB的中点(-1,4)时，直线l的方程为x二-1.综上所述，直线l的方程为x=-1或x + 3y-5 = 0.课堂小结1.知识清单:（1）点到直线的距离公式的推导过程;点到直线的距离公式d二IAx0 + By0 + Cl（3）公式的应用.2方法归纳：公式法、数形结合.3常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.随堂演练1. 原点到直线x
9、+2y-5=0的距离为（）A. 1 B. /3 C. 2 D.V5答案D2. （多选）已知点M（1,4）到直线l： mx+y-1=0的距离为3,则实数m等于（）A. 0 B.4 C. 3 D. 2答案ABlm + 4 - 11 解析点M到直线l的距离d二-二3，m2 + 1所以m = 0 或4.3.已知点M(1,2),点P（x, y）在直线2x+y1=0上，则IMPI的最小值是（）A.V1BB帮c.0)到直线l： x y+3 = 0的距离为1,则a等于()Aa2B.V2 1Ca2+1D. 2 2答案B|a23|解析 由点到直线的距离公式，得1二即la + 11二0，所以a二富-1，故选B.4.
10、点P(x, y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则lOP的最小值是()AA7 Ba16 C. 2边 D:聽答案 C所以l OPI二minl0+ 04l解析IOPI最小即OP丄l ,5. (多选)已知点A(-3,-4), B(6,3)到直线l： ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于()A.- B.答案 AB解析 由点到直线的距离公式可得l-3a-4 + 1l_l6a + 3 + 1l a2+ 1a2+ 1化简得l3a + 3l l6a + 4l ,解得a二7或计.6.(多选)与直线3x-4y+1=0垂直，且与点(一1,1)距离为2的直线方程为()A. 4x+3y 3 = 0B. 4
11、x+3y+17 = 0C. 4x3y3 = 0D. 4x3y+17 = 0答案 AB解析 设所求直线方程为4x + 3y + C = 0.则 l4X(-1) + 3X(-1) + Cl242 + 32即lC-7l 二 10,解得 C 二-3 或 C 二 17.故所求直线方程为4x + 3y-3 = 0或4x + 3y+17 = 0.7.倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为答案 i 3xy +10=0 或勺3xy 10=0解析 因为直线斜率为tan 60二逅, 可设直线方程为y二申x + b ,化为一般式得/3x - y + b = 0.由直线与原点的距离为5 ，|0- 0b|得=5&3
12、)2 + ( - 1)2Ibl 二 10.所以b二10.所以直线方程为/3x - y + 10 = 0或冷3x - y - 10 = 0.8.经过两直线x+3y-10 = 0和3x-y = 0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为即ABC的面积为4.10. 已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,l)到该直线的距离为冷2求该直线的方程.解当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0 ,即直线过原点时，设直线的方程为y = kx ,I3k - II即kx - y = 0 ,由已知得二2 ,k2 + 1整理得 7k2 - 6k - 1 二 0 ,解得k二-*或k二1 ,所以所求直线的方程为x + 7y二0或x-y二0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，设直线的方程为x + y二a ,|4 - a|由题意得7 二护，整理得Ia - 4I二2 ,2解得a二6或a二2 ,所以所求直线的方程为x + y- 6 = 0或x + y- 2二0.综上所述，所求直线方程为x + 7y二0或x-y二0或x + y - 6 = 0或x + y - 2 = 0.L综合运用11. (多选)已知点P在直线3x+y-5 = 0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为迈，则点P的坐标为()
