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1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1 .空间直线和平面的位置关系：(1) 空间两条直线： 有公共点：相交，记作：ab= A,其中特殊位置关系：两直线垂直相交. 无公共点：平行或异面.平行，记作：ab.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2) 空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：aua.直线与平面相交，记作：ana =A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交. 无公共点：直线与平面平行，记作：aa .(3) 空间两个平面： 有公共点：相交，记作：a np =1，其中特殊位置关系：两平面垂直相交. 无公共点：平行，记作：a p .2.空间作为推理依据的公理和定
2、理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2 )空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
3、那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直 线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：直线V宜线 _直线平面 * 平面平面直线直线 直线1平面 平面1平面【例题分析】例2在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证: MN 平面 PA
4、D.条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点& 连接AE，NE.底面ABCD是平行四边形，M, N分别是AB, PC的中点，:.MAIICD, MA = -CD.2,：E是PD的中点，.NEICD，NE = 1 CD.2:.MAINE，且 MA=NE，:.AENM是平行四边形，:.MN/AE.又AEu平面PAD，MN *平面PAD，.MN 平面 PAD.方法二取CD中点尸，连接MF，NF.VMFIAD，NFIPD，平面MNF 平面PAD，.MN 平面 PAD.【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：alc， blc，al a， a ug
5、al gaXa， bXaaOg=by Aa=a，y Ag=bn albn albn albn alb(2)证明线面平行:aAa= 0albalgb u a， a * aa u gnal anal anal a(3)证明面面平行:aAg= 0alg，blgaXa， aXgaly，glya，b u a，aAb= An algn algn algn alg例 3 在直三棱柱 ABCA1BlCl 中，AA1=AC，ABAC，求证：A1CXBC1.【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1 的平面即可.证明：连接AC1.VABC-A1B1C1是直三棱柱，A
6、AA1X 平面 ABC, AABXAA1. 又 AB AC,:.AB 平面 A1ACC1,AA1CXAB.又 AA1= AC,.侧面A1 ACC1是正方形，AA1CX AC1 .由，得A1C平面ABC1，.A1CLBC.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件 中出现的“直三棱柱”及“ABLAC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC，ABLBC，APLPB，求证：平面PACL平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线 线垂直”进行转化.证明：.平面
7、PABL平面人8。，平面P4BH平面ABC=AB，且 ABBC，ABC 平面 PAB，AAPXBC.又 APXPB，AAP 平面 PBC，又AP 平面PAC，.平面P4CL平面PBC.【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac， bc，aX aword格式-可编辑-感谢下载支持b u an an abE,(1)证明线面垂直:atm, atnab, btaag, at&atg, ang=lm, nua, mAn= Aaug, atln atan atan atan ata(1)证明面面垂直：atg, a u an a侦例5如图，在斜三棱柱ABCAlB1C1中，侧面
8、A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC, ZA1AB=60, F分别是AB1，BC的中点.(I )求证：直线EF平面AACC；(II)在线段AB上确定一点G,使平面EFGt平面ABC,并给出证明.证明：(I)连接A1C, A1E.侧面A1ABB1 是菱形，E是AB1的中点，:.E也是A1B的中点，又F是BC的中点，.EFA1C.VA1Cu 平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1，.直线EF平面AACC1.(2)解：当BG = 1时，平面EFG平面ABC,证明如下： GA 3连接EG, FG.侧面A1ABB1是菱形，且ZAAB=60,.AA1AB是等边三角形.VE是 A1B 的中点，绑=-,
9、.EGtAB.GA 3V .平面A1 ABB 1t平面ABC,且平面AABB1 平面ABC=AB,:.EG 平面 ABC.又EGu平面EFG，：.平面EFGt平面ABC.例6如图，正三棱柱ABC-ABC中，E是AC的中点.word格式-可编辑-感谢下载支持(I )求证：平面BEC1L平面ACCAi； (II)求证：ABJ/平面BEC1.【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求， 可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I )：ABCA1BC1是正三棱柱，.AA1平面ABC,.BE 上 AA1.ABC是正三角形，E是AC的中点，.B
10、ELAC，.BEL平面ACC1A1，又 BEu平面BEC1，.平面BEC1上平面ACC1A1.(II)证明：连接B1C，设BC1HB1C=D.BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，DE/AB.又 DEu 平面 BEC1，AB1 二 平面 BEC1，AB 平面BEC1.例7 在四棱锥P ABCD中，平面PADL平面ABCD，AB/DC，PAD是等边三角形，已知BD= 2AD=8，AB = 2DC = 4 J5 .(I )设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(II)求四棱锥P ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知， MB
11、，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD.证明：(I)在AABD中，由于 AD=4，BD=8，AB = 4汀5，所以 AD2+BD2= AB2.故 ADBD.又平面FAD平面人8。，平面P4DH平面ABCD=AD，BD u平面ABCD， 所以BDL平面PAD，又BDu平面 MBD，故平面MBD平面PAD.(II)解：过P作POLAD交AD于O,由于平面PADL平面ABCD，所以POL平面ABCD.因此PO为四棱锥PABCD的高，J-3又PAD是边长为4的等边三角形.因此PO = 丁 x 4 = 2 y3.在底面四边形ABCD中，AB/DC，AB=2D
12、C，一，e、口 3”， 土 .t 、，4 x 8 85 .、，3”，“所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为=f，即为梯形ABCD的4、；552： 5 + 4、：5 8 51 ,所以四边形 ABCD 的面积为S = 24.故V=：x24x2、：3 = 16*3.25P-ABCD 3练习一、选择题:1.2.是两条不同直线，a , p , y是三个不同平面， na，则 mn p y，则a pn和平面a , p，且mXn3.4.下列命题中正确的是() nXa，贝mnmP，则a P则()已知m， n(A)若 m a(C)若a y，已知直线m(A)n _L p(C)na设a，b是两
13、条直线，a、p是两个平面，则aLb的一个充分条件是()(A)aLa，bp，a Lp(B)aLa，bLp(C)aua，bLp，a p(D)aua，bp设直线m与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是(B)若 mXa(D)若 ma ma，a p，(B)np，或 nup(D)n a，或 n u aa &a p)(A) 在平面a内有且只有一条直线与直线m垂直(B) 过直线m有且只有一个平面与平面a垂直(C) 与直线m垂直的直线不可能与平面a平行(D) 与直线m平行的平面不可能与平面a垂直 二、填空题:5. 在三棱锥 P-ABC 中，PA = PB =、拓，平面 PABL平面 ABC，PALPB，AB
14、LBC，ZBAC=30， 则 PC=.6. 在直四棱柱ABCD-AlB1ClD1中，当底面ABCD满足条件 时，有A1CLB1D1.(只要求写出一 种条件即可)7. 设a，p是两个不同的平面，m，n是平面a，p之外的两条不同直线，给出四个论断：mLn a Lp nLp mLa 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命 .8. 已知平面a L平面p，a np =1，点AGa，AW 1，直线AB /，直线ACLl，直线ma，mp， 给出下列四种位置：ABm；ACLm；ABp ； ACLp，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是.三、解答题：9. 如图，三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点.(I )求MN的长；(II)求证：PALBC.10.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADLBD，且 E、F分别是AB、
