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1、中考数学几何模型9：隐圆模型【点睛1】触发隐圆模型的类型(1) 动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，入圆心，AB半径原理：圆A中，AB=AC=AP备注：常转全等或相似证明出定长(2) 直角圆周角模型固定线段AB所对动角/C恒为90 则A、B、C三点共圆，AB为直径原理：圆O中，圆周角为90。所对弦是直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角(3)定弦定角模型固定线段AB所对动角/P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优孤、劣孤上运动皆可(4)四点共圆模型原理：圆内接四边形对角互补备注：点A与点C在线段AB异侧若动角
2、ZA+动角ZC=180 则A、B、C、D四点共圆(5)四点共圆模型固定线段AB所对同侧动角ZP=ZC 则A、B、C、P四点共圆原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点(1) 求CM最小值与最大值(2) 求线段AB扫过的面积(3) 求SABC最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OMLAB, B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：CM1最小，CM3最大 线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 Smbc最小值以AB为底，0为高；最大值以AB为底，CM2为高例题1.如图
3、，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60, M是AD边的中点，N是AB边上的一动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接A、C，则A、C长度的最小值是.【分析】考虑 AMN沿MN所在直线翻折得到 MN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为 圆心，MA为半径的圆弧.连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时A C的值最小.构造直角 MHC， 勾股定理求CM，再减去A M即可，答案为寸7-1anbCA NBA fBC变式练习1. 如图，在RtABC中，/C=90，AC=6, BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
4、距离的最小值是【分析】考虑到将AFCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧.过 F点作FHXAB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH，再减去FP， 即可得到PH.答案为1.2.CE例题2.如图，已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点，经过点O的 直线l上有两点A、B，且OA=OB,ZAPB=9Q, l不经过点C,则AB的最小值为.【分析】连接OP,根据 APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小， 则OP最小即可.连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值.答
5、案为4.A o B变式练习2. 如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ 翻折形成FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是.答案为8.【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D，连接PD，PF+PD 化为PF+PD .连接ED，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED ， 再减去EF即可.例题3.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G,连 接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是.【分析】根据条件可知：Z
6、DAG=/DCG=/ABE,易证AGBE，即ZAHB=90。，所以H点轨迹是以AB 为直径的圆弧当。、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求.答案为（5-1EFBDBC变式练习3. 如图，RtAABC 中，ABBC，AB=8, BC=4, P 是ABC 内部的一个动点，且满足/PAB=/PBC， 则线段CP长的最小值是.【分析】./PBC+/PBA=90，/PBC=/PAB，./PAB+/PBA=90，./APB=90， .P点轨迹是以AB为直径的圆弧.CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可.当0、P、C共线时BCBC例题4.如图，在RtAABC中，/ACB=90，BC=4, A
7、C=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直 径作圆0,连接BD交圆0于点E，则AE的最小值为.【分析】连接CE,由于CD为直径，故ZCED=90，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线 段CB对直角ZCEB.取CB中点M,所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.连接AM，与圆孤交点即为所求E点，此时AE值最小，ae = AM - EM = 1102 + 22 2 = 2云-2变式练习4. 如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、 CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G， 连接AG，则AG
8、长的最小值为.【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BGEF，但/BGE所对的BE边是不确定的. 重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心0点，连接BD，与EF交点即为O点./BGO为直角且B0边为定直线，故G点轨迹是以B0为直径的圆.记B0中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RtAAOM勾股定理先求AM，再减去GM即可.答案为&0-豆BC例题5.如图，等边 ABC边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF,连接AE、BF, 交点为P点，则CP的最小值为.答案为孕【分析】由BE=CF可推得 ABEgBCF,所以ZAPF=60。，但ZAPF所对的边
9、AF是变化的.所以 考虑ZAPB=120，其对边AB是定值.所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧.（构造OA=OB 且 ZA0B=120）当0、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RtOBC勾股定理求得0C，再减去0P即可.变式练习5. 在 ABC中，AB=4，ZC=60，ZAZB，则BC的长的取值范围是【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，/C=60，即定边对定角.故点C的轨迹是以点O为圆心 的圆弧.（作AO=BO且/AOB=120）题意要求ZAZB，即BCAC，故点C的轨迹如下图.当BC 为直径时，BC取到最大值为,考虑为K中最大角,故BC为最长边，BCAB=4.无
10、最小值.例题6.如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，ADCE为RtZCED=90o，ZDCE=30，若oe=&+3，则正方形的面积为（2C. 3D. 2【解答】解：如图，过点O作OMLCE于M，作ONLDE交ED的延长线于N， VZCED=90，.四边形OMEN是矩形，AZMON=90o，vzcom+zdom=zdon+zdo m，azcom=zdon，.四边形ABCD是正方形，oc=od，在COM和DON 中，/N二NSW二9。肾,OC=OD今？AACOMADON （AAS）, .OM=ON,亦可按隐圆模型解答A四边形OMEN是正方形， 设正方形ABCD的边长为2a, VZDCE=
11、30o,ZCED=90 .*.DE=a, CE= ；3a，设 DN=x, x+DE=CE-x,解得：x=（M）m,2NE=x+a=项口扁， 2.oe=,Ene,A 伊=.五.（富+1）2一Aa=1, aS 正方MBC=4 故选：B.变式练习6. 如图，BE, CF为AABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：ADXBC.土证明连接EF由于和共斜.AH,由1 F. H、出四点共ISL得41=2, 由于RtAJfC 共斜边 BCt由E、C、E、F四点洪圆，得1 = 3. - Z2Z3.又个匕4血90 Z2+Z-AD 1 BC.例题7.如图，在四边形ABCD中，/BCD=90, A
12、C为对角线，过点D作DFXAB,垂足为E, CB 延长线于点 F,若 AC=CF,ZCAD=ZCFD, DF-AD=2, AB=6,则 ED 的长为丝 .一 5 一,故答案为.图2BE的长为里点A, F, C, D四点共圆， ZFDC,/EAF=45，当点E, F分别在对角线BD、边CD上，若FC=6,则【解答】解：./CAD=/CFD,ZFAD+ZDCF=180,ZFAC=./DCF=90,./FAD=90,.AC=FC,./FAC=/AFC,.DFAB,AZABF+ZBFE=ZCDF+ZBFE=90,ZABF=ZCDF,AZAFB=ZABF,AAF=AB=6,.DF-AD=2,.DF=AD
13、+2,.DF2=AF2+AD2,.（2+AD） 2 = 62+AD2，解得：AD=8,.DF=10,./FAD=90, AEDF,AAADE-ADAF,图1证明：(1)如图，连接DB、DF.四边形ABCD是正方形，且BF是ZCBA的外角平分线，./CBF=45,/DBC=45,./DBF=90.又./DEF=90,D、E、B、F四点共圆.AZDFE=ZDBE=45 (同孤所对的圆周角相等).DEF是等腰直角三角形.FE=DE(2)解：作 ADF的外接圆。O,连接EF、EC，过点E分别作EMXCD于M, ENXBC于N (如图) .NADF=90,.AF为。0直径， BD为正方形ABCD对角线，./EDF=/EAF=45,.点E在。0上，./AEF=90,二 壬-.AEF为等腰直角三角形，AE=EF, 一 /变式练习7.(1)如图1, E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ZABC的外角平分线于 点F,求证：FE=DE.(2)如图2,正方形ABCD,rAB=CB在ABE 与CBE 中 /邮E=/CBE,.ABEgCBE(SAS),.BE 二EE.AE=CE,.CE=EF,VEMXCF, CF=6,.CM=dCF=3,2.ENBC,/NCM=90,.四边形CMEN是矩形，EN=CM
