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1、 函数与导数1求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题1函数y的定义域是_答案2用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题问题2已知f(cos x)sin2x，则f(x)_.答案1x2(x1,1)3分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题3已知函数f(x)则f_.答案4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称
2、，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响问题4f(x)是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇解析由得定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)为奇函数5弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件问题5设f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()A(，)上的减函数B(
3、，)上的增函数C(1,1)上的减函数D(1,1)上的增函数答案D解析由题意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函数f(x)的定义域是(1,1)，在此定义域内f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是增函数选D.6求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替问题6函数f(x)的减区间为_答案(，0)，(0，)7求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：
4、适合于已知或易作出图象的函数(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适合于一次分式(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域问题7函数y(x0)的值域为_答案解析方法一x0，2x1，1，解得y1.其值域为y.方法二y1，x0，00)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.问题9对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当2x0
5、且a1，b0且b1，M0，N0.则loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.推论：logamNnlogaN；logab.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题11函数yloga|x|的增区间为_答案当a1时，(0，)；当0a1时，(，0)12幂函数形如yx(R)的函数为幂函数(1)若1，则yx，图象是直线当0时，yx01(x0)图象是除点(0,
6、1)外的直线当01时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数，当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数问题12函数f(x)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B13函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根(2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间a，b内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此时这个c就是方程f(x)0的根反之不成立问题13已知定义在R上的函数f(x)(x23x
7、2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析f(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)031410.又函数yg(x)的图象是一条连续曲线，函数f(x)在区间(1,2)内有零点因此方程f(x)0在(1,2)内必有实数根14求导数的方法基本导数公式：c0 (c为常数)；(xm)mxm1 (mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x)；(logax)(a0且a1)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvu
8、v；(v0)复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)a.问题14f(x)，则f(x)_.答案15利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)a0)，axdx|.问题17计算定积分(x2sin x)dx_.答案解析(x2sin x)dx.易错点1函数概念不清致误例1已知函数f(x23)lg，求f(x)的定义域错解由0，得x2或x2或x0，即x24，t34，即t1.f(x)的定义域为x|x1易错点2忽视函数的定义域致误例2判断函数f(x)(1x) 的奇偶性错解因为f(x)(
9、1x) ，所以f(x)f(x)，所以f(x)(1x) 是偶函数找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，或f(x)f(x)正解f(x)(1x) 有意义时必须满足01x1，即函数的定义域是x|1x1，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数易错点3混淆“切点”致误例3求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程错解y3x22，ky|x131221，切线方程为y1x1，即xy20.找准失分点错把(1，1)当切点正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|3x202.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(
