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1、8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长通常等于2a，且2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆。（1）椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 注：A.以上方程中的大小，其中；B.在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。一般方程：.椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）. 椭圆的性质 顶点：或.轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.【，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从
2、而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。】焦（点）半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：和 焦点三角形的面积：若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）。若是双曲线，则面积为。（3） 共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2. 椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不
3、在L上）的距离的比为常数e（）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。二、双曲线方程1. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a，且2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点F为双曲线的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。三、抛物线方程（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；（2）抛物线的性质
4、设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线方程范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦半径通径2p2p2p2p焦点弦x1+x2+px1+x2+py1+y2+py1+y2+p注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. （或）的参数方程为（或）（为参数）.四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.【弦长公式】2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F
5、1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图形方程标准方程(0)(a0,b0)参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2
6、b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)准 线x=准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.（2）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线：（1）设抛物线的标准方程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.（2）已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径). 弦长公式：
