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1、七年级下三角形综合题归类双等边三角形模型1 .(1)如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小；(2)如图8,AOAB固定不动，保持AOCD的形状和大小不变，将AOCD绕着点。旋转(AOAB和AOCD不能重叠)，求/AEB的大小.2 .已知:点C为线段AB上一点，ACM,zCBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.求证：AN=BM求/AOB的度数ACAD AE同类变式：已知，如图所示，在4ABC和4ADE中，ABAC,BACDAE,且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M
2、,N分别为BE,CD的中点.(1)求证：BECD;AMAN.(2)在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转1800,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立图图4.如图，四边形ABCtJ口四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H.(1)证明：ABG0/XADE；(2)试猜想BHD勺度数，并说明理由；(3)将图中正方形ABCDS点A逆时针旋转(0BAE180。)，设4ABE的面积为S1,4ADG勺面积为S2,判断S1与S2的大小关系，并给予证明.5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG/BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使
3、DEDB,连接AE,CD.(1)求证：AGE04DAC；(2)过点E作EF/DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断4AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1.如图，ZXABC中，/ACB=90,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CFXAE,垂足为F,过B作BDLBC交CF的延长线于D.求证：(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.考点2:利用角相等证明垂直1 .已知BE,CF是ABC勺高，且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2 .如图，在等腰RtAABC,/AC母90,
4、D为BC的中点，DELAB,垂足为E,过点B作BF/AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1)求证：CD=BF求证：ADCF;连接AF,试判断4ACF的形状.拓展巩固：如图9所示,ABC是等腰直角三角形，/AC氏90,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ADC=/BDEAB(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？)3 .如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在B
5、C边上，如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.G匚F(S2)4 .如图1,ABC的边BC在直线l上，ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连2AP,BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量
6、关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.(2)等腰三角形（中考重难点之一）考点1:等腰三角形性质的应用1 .如图，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中点，EDFD,ED与AB交于E,FD与AC交于F.求证：BEAF,AECF.2 .两个全等的含30,60o角的三角板ade和三角板ABC,如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断EMC的形状，并说明理由.压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 Rt ABC 中，AC BC , C 90 , D 为AB边的中点，EDF90,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC
7、、CB（或它们的延长线）于E、F.当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1）,易证SdefScefSabc.当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，Sdef,Scef,SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图1A提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3 .已知：如图，ABC中，/ABC=45,CD，AB于D,BE平分/ABC,且BE，AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。1(1) BF=AC(2)CE=-BF(3)CE与BC的大小关系如何2考点2:等腰直角三
8、角形(45度的联想)1 .如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合)，另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F.(1)如图14-1,当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE,EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是请证明你的上述两猜想.如图142,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2 .在RtAABC中，AOBC,/AC况90,D是AC的中点，DG，AC交
9、AB于点G.(1)如图1,E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FH，FG交直线AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在图1图2同类变式：(期末考试原题哦)已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，(点E不与点B、C重合)，斜边与/ACM的平分线CF交于点F(1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时猜想AE与EF满足的数
10、量关系是.连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是.请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E在B C边得任意位置时,BCM图（2）图（1）四、角平分线问题1 .如图：E在线段CD上，EAEB分另I平分/DA出口/CBA,/AEB=90，设AD=x,BC=y,且x,y满足x2y26x8y250(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2 .如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)
11、如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分另是/BAG/BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不断立，3 .（北京市中考模拟题）如图，在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作1CEAB于E,并且AE-（ABAD）,贝ABCADC等于多少？24 .如图，ZXABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BGDEIAB于E,DFAC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=d,求AE、的长.5、在A
12、BCt,AB=2ACAD平分/BAGAD=BD,求证：CDAC6、如图，已知在AB/,/BAC为直角，AB=ACD为AC上一点，CHBD于E.1(1)若BD平分/ABC求证CEjBR(2)若D为AC上一动点，/AEDto何变化，若变化，求它的变化范围；若不变,求出它的度数，并说明理由7已知：如图E在4ABC的边AC上，且/AEBWABC(1)求证：/ABEWC(2)若/BAE的平分线AF交BE于F,FD/BC交AC于D,设AB=5AC=8求DC的长。五、中点问题1 .在ABCt, D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F ,交AC的平行线BG于点G。DE GF ,并交AB于点E .连结EG
13、.(1)求证：BG CF ；(2)请猜想BE CF与EF的大小关系，并加以证明2 . 如右下图，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求 证：AB 2DE .DE3.已知ABC中，ABAC,BD为AB的延长线，且BDAB,CE为ABC的AB边上的中线.求证CD2CE（提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90.连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段A
14、M与DE的数量关系是;将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.6、问题：已知4ABC中，BAC2ACB,点D是4ABC内的一点，且ADCD,BDBA.探究DBC与ABC度数的比值.先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析请你完成下列探究过程：并加以证明.（1）当BAC90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC得数量关系为当推出DAC15时，可进一步推出DBC的度数为可得到DBC与ABC度数的比值为.（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与AB（t数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.8、（1）如图1,在正方形ABCD中，点E.F分别在边BC,CD上,AEBF交于点O,/AOF=90.求证：BE=CF如图2,在正方形ABCD中，点E,H,F,G分别在边AB,BCCDQA上,EFGH交于点O,/FOH=90,EF=4.求GH的长.（3）已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BCCDDA上，EFGH交于点O,ZFOH=90；E已4.直
