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1、目录中文摘要 1英文摘要 1一、引言 2二、随机变量及其分布 2（一）随机变量及其分布 21. 随机变量的概念 22. 分布函数的定义 23. 分布函数的性质 3（二）离散型随机变量 31. 离散型随机变量及其分布的定义 32. 分布列的基本性质 33. 用分布函数判别离散型随机变量的一种方法 6（三）非离散型随机变量 61. 连续型随机变量及密度函数的定义 72. 密度函数的性质 73. 连续型随机变量分布函数的特征 84. 非离散非连续的随机变量 8三、既不离散也不连续的随机变量及其判别 9（一）随机变量的判别 9（二）既不离散也不连续的随机变量的判别 9（三）考研中常见的非离散非连续的随
2、机变量示例 11四、结束语 13参考文献 13既不离散也不连续的随机变量惠敏摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、 性 质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法， 即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大 量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为 深刻的理解。关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量； 分布函数Neither Discrete Nor Continuous Random VariablePeng Hui-m inAbstr
3、act: Through the study of the classificationof random variables andthe discussi onof the distributi on fun cti on, the n ature,the digitalcharacteristics, as well as the n ecessary con diti ons of both discrete and con ti nu ousran dom variable, this paperdem on stratesthe means ofdiscriminating the
4、 neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the con verse-n egativepropositi on of the n ecessary con diti ons ofthe two variables distributi on fun cti on. A large nu mber of examples and exam in atio n questi ons of this kind appeared in the rece nt few years of postgra
5、duate entrance examsare given so as to render an in-depth understanding of the classificati on of the ran dom variables to the beg inn ers.Key words: discrete ran dom variable; continu ous ran dom variable; n either discrete nor continuous random variable; distribution function引言除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，
6、 还有既不离散也不连续的随机变量， 有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连 续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机 变量，在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还 有既不离散也不连续的随机变量。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是 离散型随机变量和连续型随机变量。、随机变量及其分布(一) 随机变量及其分布1 随机变量的概念设E是随机试验，它的样本空间是 ,如果对于每一个都有一个实数和它相对应，这样就得到一个上的实
7、值函数X()，称X()为随机变量。随机变量按其取值情况可分为两类：离散型随机变量和非离散型随机量2。如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称 X为离散型随机变量。 非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能列举出来，其中 的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。X是一个随机变量，如X果存在(,)上的非负可积函数f(x)，使X的分布函数F(x) f(t)dt，则称X为 连续型随机变量，f (x)是X的概率密度函数。既不离散也不连续的随机变量，一般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用， 概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用密度函数只能表示其连续的
8、部分，只有通过其分布函数F(x) P X x才能将分布表达清楚，而分布函数是初学 者的难点。2. 分布函数的定义设X()为随机变量，对任意实数x，称F(x) P(X( ) x)为随机变量X ()的分布函数3. 分布函数的性质任意分布函数F(x)都有如下三条基本性质：(1) 单调性 F x是定义在整个实轴(，)上的单调非递减函数，即对任意的 x, x2，有 F(x,) F(x2).(2) 有界性对任意的x，有0 F(x) 1，且F( ) lim F(x) 0,xF( ) lim F(x) 1 .x(3) 右连续性 F x是x的右连续函数，即对任意的X。，有lim F(x) F(x。)X x0即F
9、(xo 0) F(xo)这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。(二) 离散型随机变量1. 离散型随机变量及其分布的定义假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。设X是一个离散随机变量，如果 X的所有可能取值是为山2, ,Xn,则称X取Xj的概率Pi P x p X x, ,i 1,2, ,n为X的概率分布列或简称分布列，记为 X N Pi .分布列也可用如下列表方式来表示：XXX2XnPP(xJP(X2)P(Xn)或记成洛X2XnP(Xjp(X2)P(Xn)2. 分布列的基本性质(1) 非负性p(灯0,i 1,2,3(2) 正则性p(xj 1.i 1以
10、上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布 列的充要条件。由离散型随机变量X的分布列很容易写出X的分布函数F(x)p(Xi)X它的图形是有限级(或无穷极)的阶梯函数。F x是一个跳跃函数，它在x处有跳跃度P(xD.可见F x可以唯一决定Xi和P(N).例1、设随机变量X的分布列为特别，常量c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X 1) c.这个分布常称为X123P0.250.50.25试求X的概率分布列及P(X 0.5)，P(1.5 X 2.5)，并写出X的分布函数解：P(X 0.5) P X10.25，P(1.5 X 2.5) P X 20.5.0,x1，F(x)0
11、.25,1 x 2,0.25 0.50.75,2x3,0.25 0.5 0.251,x 3.F x的图形如图所示，它是-一条阶梯型的曲线，在 X可能取值-1，2, 3处有右连续的跳跃点，其跳跃度分别为 X在其可能取值点的概率：0.25，0.5，0.25.l yaOOH|i11-10123x单点分布或退化分布，它的分布函数是0, x c,F(x)1, x c.Wx)单点分布函数图以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数F x总是阶梯函结论1若随机变量 为离散型，那么其分布函数F x为阶梯函数。 证明|为离散型随机变量I的分布列为Xi i， i 1,2,3,（不妨这里设x1 x2人备
12、1卄| ）下证（1）当x为时，F x 0 ；（2）当 Xi x Xj 1， i 1,2,3, | * 时，F x c （常数），且0 ci ci 11.事实上，（1）当x为时,F xXk0；Xk X1（2）当XiXXi 1 ， i1,2,3,II1时，FXXkiXk兀xk 1叮这是取i（有限）个值对应概率相加其和一定存在，记为c，即当 Xi x x 1, i 1,2,3,|卅| | 时，F x cii 1显然，0 Gxkxk ci 1 1 .k 1k 1综上可知， 的分布函数F x为阶梯函数3 用分布函数判别离散型随机变量的一种方法我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件 结论2设
13、随机变量 的分布函数为F x .若F x是阶梯型函数，则 为离散型随机变量。 证明 ；F x是的分布函数F x 一定是右连续x是阶梯函数tminF x是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为Xix2卅 |XiXi 10, xx(c1,xxX2C2,xxX3卅Ci,xxx 1则F xIHIIII M为常数，0 G 1下证X FXi0F X，i1,2,3,（1）i *F x是单调不减的函数XFxi0FCi 1（2）i 1fFxi0FXi 1i 1XiiF1X 0F XilimnnF Xi 10FXlim FnXn 1综合(1)、（2）可知:XFXi0F Xi，i
14、1,2,3其中，C，i 1,2,3,01mm是的分布列。为的分布列。（三）非离散型随机变量由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来, 但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b)，则称其为连续随机变。定义 设随机变量X的分布函数为F X)，如果存在实轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x有xF(x)p(t)dt则称p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数，或称密度2 密度函数的性质(1) 非负性 p(x) 0(2) 正则性 p(x)dx 1 (含有p(x)的可积性)。以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或
