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1、热点专练3平面向量一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020泰安检测)已知向量(3，4)，(6，3)，(2m，m1).若，则实数m的值为()A. B.C.3 D.解析易知(3，1)，且(2m，m1)，由，得2m3(m1)，m3.答案C2.(2020全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cos a，ab()A. B.C. D.解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cosa，ab.故选D.答案D3.(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是
2、()A.a2b B.2abC.a2b D.2ab解析由题意得|a|b|1，a，b的夹角60，故ab|a|b|cos .对于A，(a2b)bab2b220；对于B，(2ab)b2abb22120；对于C，(a2b)bab2b220；对于D，(2ab)b2abb2210.故选D.答案D4.(2020石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|5，则2ab在a方向上的投影为()A. B. C.2 D.解析因为(2ab)a2a2ab2|a|2|a|b|cos 603，所以2ab在a方向上的投影为.答案B5.(2020海南新高考诊断)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，点D为BC边上一
3、点，且2，则()A. B. C.1 D.2解析法一2，2()，则232321，故选C.法二以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，2，(4，)，则D，(3，0)，则301，故选C.答案C6.(2020济南检测)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A. B. C. D.解析因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE2EF，所以AD，DF，所以()|cos 120|cos 60.答案D7.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则(
4、)的最小值是()A.2 B. C. D.1解析如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y).所以()(x，y)(2x，2y)2x22.当x0，y时，()取得最小值.答案B8.(2020青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C. D.解析因为(ac)(bc)0，所以(ac)(bc).如图所示，设c，a，b，则ac，bc，所以.又因为，所以O，A，C，B四点共圆，当且仅
5、当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.答案C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020青岛质检)已知向量ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)，设a，b的夹角为，则()A.|a|b| B.acC.bc D.135解析根据题意，得ab(1，1)，ab(3，1)，则a(1，1)，b(2，0).对于A，|a|，|b|2，则|a|b|，错误；对于B，a(1，1)，c(1，1)，则ac0，即ac，正确；对于C，b(2，0)，c(1，1)，bc不成立，错误；对于D，a(1，1
6、)，b(2，0)，则ab2，|a|，|b|2，则cos ，则135，正确.故选BD.答案BD10.(2020沈阳一监)已知向量(1，3)，(2，1)，(t3，t8).若点A，B，C是一个三角形的顶点，则实数t可以为()A.2 B. C.1 D.1解析若点A，B，C是一个三角形的顶点，则A，B，C三点不共线，则向量，不共线.由于向量(1，3)，(2，1)，(t3，t8)，因此(3，4)，(t5，t9).若A，B，C三点不共线，则3(t9)4(t5)0，t1，故选ABD.答案ABD11.(2020深圳统测)点P是ABC所在平面内一点，满足|2|0，则ABC不可能是()A.钝角三角形 B.直角三角形
7、C.等腰三角形 D.等边三角形解析因为点P是ABC所在平面内一点，且|2|0，所以|()()|0，即|，所以|，等式两边平方并化简得0，所以，BAC90，则ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形式.故选AD.答案AD12.(2020聊城质检)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的取值可能是()A.2 B.1C.1 D.2解析设D(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3，0)到
8、点(1，)的距离加上圆的半径，即11.最小值为11，故取值范围为1，1.故选BC.答案BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020全国卷)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.解析将|ab|1两边平方得a22abb21.a2b21，12ab11，即2ab1.|ab|.答案14.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_.解析因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以|2|xy|2x2y22xyx2y2，x2y21，则2xyx2y21.又(xy)2x2y22xy2，故xy的最大值为.答
9、案15.(2020天津适应性测试)如图，在ABC中，AB3，AC2，BAC60，D，E分别是边AB，AC上的点，AE1，且，则|_.若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_.(本小题第一空2分，第二空3分)解析AE1，BAC60，|1cos 60，解得|1.设(01)，则(1).2()(2)AE，(1)()(2)(1).(2)(1)2(2)2(1)(24)2.当时，有最小值，为.答案116.(2020浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1e2|.设ae1e2，b3e1e2，向量a，b的夹角为，则cos2的最小值是_.解析设e1(1，0)，e2(x，y)，则a(x1，y)，b(x3，y).由2e1e2(2x，y)，故|2e1e2|，得(x2)2y22.又有x2y21，得(x2)21x22，化简，得4x3，即x，因此x1.cos2，当x时，cos2有最小值，为.答案
