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1、 1 1题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,ACB=90,AP=BP=AB,PCAC.(1)求证:PCAB;(2)求点C到平面APB的距离.2.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.3.已知PA平面ABCD,CDAD,BAAD,CD=AD=AP=4,AB=2.(1)求证:CD平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM
2、PC时,求三棱锥B-APM的体积.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1平面ABC,D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,
3、G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB平面PBC.(2)若PC平面AEFG,求的值.(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.#题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.(1)证明 取AB的中点D,连接PD,CD.AP=BP,PDAB.AC=BC,CDAB.PDCD=D,AB平面PCD.PC平面PCD,PCAB.(2)解 由(1)知AB平面PCD,平面APB平面PCD.过C作CHPD,垂足为H.平面APB平面PCD=PD,CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PCAB,又PCAC,且ABAC=A,PC平面ABC.CD平面ABC,PCCD.在RtPC
4、D中,CD=AB=,PD=PB=,PC=2.CH=,点C到平面APB的距离为.2.(1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解 在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在
5、CG上,故CD=CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=222=.3.(1)证明 因为PA平面ABCD,PA平面ADP,所以平面ADP平面ABCD.因为平面ADP平面ABCD=AD,CDAD,所以CD平面ADP.(2)解 取CD的中点F,连接BF,在梯形ABCD中,因为CD=4,AB=2,所以BFCD.又BF=AD=4,所以BC=2.在ABP中,由勾股定理求得BP=2.所以BC=BP.又知点M在线段PC
6、上,且BMPC,所以点M为PC的中点.在平面PCD中过点M作MQDC交DP于Q,连接QB,QA,则V三棱锥B-APM=V三棱锥M-APB=V三棱锥Q-APB=V三棱锥B-APQ=2=22.4.(1)证明 设O为AB的中点,连接A1O,AF=AB,O为AB的中点,F为AO的中点.又E为AA1的中点,EFA1O.D为A1B1的中点,O为AB的中点,A1D=OB.又A1DOB,四边形A1DBO为平行四边形.A1OBD.又EFA1O,EFBD.又EF平面DBC1,BD平面DBC1,EF平面DBC1.(2)解 AB=BC=CA=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,AF=AB,C1D平面ABB
7、1A1.而,SBDE=-SABE-=22-21-21-11=.C1D=,SBDEC1D=.5.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又
8、因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.6.(1)证明 因为PA平面ABCD,所以PABC.因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC,所以BC平面PAB.所以平面PAB平面PBC.(2)解 连接AF.因为PC平面AEFG,所以PCAF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点.所以.(3)解 AE与平面PCD不可能平行.证明如下:假设AE平面PCD,因为ABCD,AB平面PCD,所以AB平面PCD.而AE,AB平面PAB,所以平面PAB平面PCD,这显然矛盾.所以假设不成立,即AE与平面PCD不可能平行.
