（全国通用版）2022年高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理

《（全国通用版）2022年高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2022年高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、（全国通用版）2022年高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验对方向1.(2018全国18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)解作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,|为单位长,建立如

2、图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P,D为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则sin =.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2.(2018全国20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB,因为A

3、B=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)解如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的法向量=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0a2),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由n=0,n=0得可取n=(a-4),a,-a),所以cos=.由已知可得|cos|=.所以,解得a=-4(舍去),a

4、=.所以n=.又=(0,2,-2),所以cos=.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.3.(2016全国19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TN􀱀AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E,

5、连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,且AE=.以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N=(0,2,-4),.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则可取n=(0,2,1).于是|cos|=.4.(2015全国18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF

6、.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEEC,所以EG=,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=,故DF=.在RtFDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(2)解如图,以G为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,0),所以=(1,),.故co

7、s=-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.新题演练提能刷高分1.(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,ABC=120.(1)证明:ADA1B;(2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.(1)证明取AD中点O,连接OB,OA1,BD,AA1=A1D,ADOA1.又ABC=120,AD=AB,ABD是等边三角形,ADOB,AD平面A1OB.A1B平面A1OB,ADA1B.(2)解平面ADD1A1平面ABCD,平面ADD1A1平面ABCD=AD,又A1OAD,A1O平面ABC

8、D,OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,),B(0,0),D(-1,0,0).则=(1,0,),=(-1,0),=(0,-),设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),则令x=,则y=1,z=-1,可取n=(,1,-1),设直线BA1与平面A1B1CD所成角为,则sin =|cos|=.2.(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC

9、的中点.(1)证明:BE平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.(1)证明设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为PDC的中位线,所以EFCD,且EF=CD=2.又ABCD,AB=2,所以AB􀱀EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.又AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(2)解设G为AB的中点,因为AD=AB,BAD=60,所以ABD为等边三角形,故DGAB;因为ABCD,所以DGDC.又PD平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.以D为坐标原点,为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则P(0,0,2),B(,

10、1,0),E(0,2,1),=(0,2,1),=(,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则令y=1,则n=.又=(,1,-2),所以|cos|=,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为.3.(2018福建福州3月质检)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:A1C平面DEF;(2)若A1CEF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.(1)证明如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱A

11、B,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF,所以A1C平面DEF.(2)解由(1)知,EHAA1,因为AA1平面ABC,所以EH平面ABC,因为ABC为正三角形,且点E为棱AB的中点,所以CEAB,故以点E为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,设AB=4,AA1=t(t0),则A1(2,t,0),C(0,0,2),E(0,0,0),F-2,0,D-,0,所以=(-2,-t,2),=-2,0,因为A1CEF,所以=0,所以(-2)(-2)-t+20=0

12、,解得t=2.所以=(-2,0),=-,0,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则所以取x=1,则n=(1,),又因为=(-2,0,2),设直线A1C1与平面DEF所成的角为,所以sin =|cos|=,所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为.4.(2018东北三省三校二模)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F为CD,AA1的中点.(1)求证:DF平面B1AE;(2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.(1)证明设G为AB1的中点,连接EG,GF,因为FG􀱀A1B1,

13、又DE􀱀A1B1,所以FG􀱀DE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DFEG,又DF平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF平面B1AE.(2)解因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形.取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t0),则A(0,0,0),E,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),=,0,=(,-1,t),=(0,2,t),设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),则n(x+y)=0且nx-y+tz=0,取n=(-t,t,4

14、),设直线AD1与平面B1AE所成角为,则sin =,解得t=2,故线段AA1的长为2.5.(2018湖南长沙一模,18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,ADE,BCF均为等边三角形,EFAB,EF=AD=AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.解(1)当N为线段FC的中点时,使得AF平面BDN.证法如下:连接AC,BD,设ACBD=O,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点,又N为FC的中点,ON为ACF的中位线,AFON.AF平面BDN,ON平面BDN,AF平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF平面BDN.(2)过点O作PQAB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点,所以P,Q分别为AD,BC的中点,ADE与BCF均为等边三角形,且AD=BC,ADEBCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,EFAB,AB􀱀PQ,EF=AB,EFPQ,EF=PQ,四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MOPQ,又ADEP,ADPQ,EPPQ=P,AD平面EPQF,过点O作OGAB于点G,则OGAD