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1、第二章 控制系统的数学模型A 基本题A2-1求下列系统的传递函数。式中r(t)为系统输入，c(t)为系统输出:d3 c(t) - d 2 c(t) - d 2 c(t)/、c dr (t) 、+ 3+ 3+ c(t) = 3+ r (t)dt3dt2dt2dt皿 + 3 皿 * 3 皿 + c(t) = r (t - 2) dt3dt2dt2解：(1) (s 3 + 3s 2 + 3s +1) C (s) = (3s +1) R (s)厂()C (s)3s +1G (s)=R(s)s3 *3s2 *3s*1(2)(s 3 + 3s 2 + 3s + 1)C (s) = e -2 sR( s)e
2、 -2 ss3 *3s2 *3s*1x = ax + ix + jx2 13 J 6x = bx3 2x = fx + cx 一 gx4135 x = dx54x 二 ex65A2-2 试绘制下列代数方程的信号流图：x = ax + gx + jx2 12 J 3x = bx * x3 23(2) ”4 = fx1 + 込 - gx3 x = dx54x6 =x5xA2-3求图A2-1信号流图的传递函数C(s)C(s)图 A2-1 题 A2-3 信号流图解： 这个系统只有一个前向通道，而有四个回路 L 、 L 、L 和 L ，没有两个及两个以 1234上互不接触回路。回路是：LKG (s)G
3、(s)L = 121sL =G (s)G (s)H (s)2 1 2 2L =G (s)H (s)3 1 3L =G (s)G (s)H (s)4 1 2 1A = 1 (L + L + L + L ) = 1 + KGi(s)G2(s)+ G (s)G (s)H (s)1 2 3 4 s 1 2 2+ G (s)H (s) + G (s)G (s)H (s)1 3 1 2 1前向通路只有一条：KG (s)G (s)1 2s所以C(s)KG (s)G (s)=1 2R(s) s + KG (s)G (s) + sG (s)G (s)H (s) + sG (s)H (s) + sG (s)G (
4、s)H (s) 1 2 1 2 2 1 3 1 2 1A2-4用梅逊公式求下列方块图的传递函数誥(a)(b)图 A2-2 题 A2-4 图解： (a) 这个系统有四条前向通道，五个回路，没有两个及以上互不接触回路。回路有：5s(Ts +1)18s (Ts +1)2L 一 伫3 s 2(Ts + l)(Ts + 1)12l 二404 s 2(Ts + 1)(T s +1) 12l _405 s 2(Ts + 1)(Ts + 1)12A = 1 (L + L + L + L + L )12345前向通路有四条：P 二 5, A 二 11 s (Ts +1)118P 二,A = 12 s (Ts +
5、1)2402P = , A = 13 s 2(T s + 1)(T s +1)34012P =, A = 14 s 2(Ts + 1)(Ts +1)412所以C (s)5s (Ts +1) + 8s (Ts +1)二2+(这个题目用解方程方便!)R (s) s 2(Ts + 1)(Ts +1) + 5s (Ts +1) + 8s (Ts +1) + 401 2 2 1(b) 这个系统有三个回路，没有两个及以上互不接触回路：L 二 G (s) H (s)1 31L 二 G (s) H (s)2 21L 二 G (s)G (s)H (s)H (s)3 1323A 二 1 G (s)H (s) G
6、(s)H (s) G (s)G (s)H (s)H (s) 31211323前向通路有四条：A 一 1P 一 G (s)G (s)A1 -11 1 2A 一1P 一 G (s)G (s)A1 -1P -G (s)H (s 匕(s(s), A - 1P =-G (s )H (s E (s G (s), A3 -14 43124所以C (s) 一 丽_G (s)G (s) + G (s)G (s) G (s)G (s)G (s)H (s) G (s)G (s)G (s)H (s)213134312431 G (s)H (s) G (s)H (s) G (s)G (s)H (s)H (s)31211
7、323A2-5 某平台的位置控制系统的微分方程组为d2p + 2 如 + 4 p =0dt 2 dtu1 一 r p u 2 一 7u1厶 0.6udt上式中，r(t)是平台的预期位置；p(t)是平台的实际位置；ui(t)是放大器的输入电压；u2(t) 是放大器的输出电压；9 (t)是电动机的转角。试画出该系统的方块图和信号流图，确定各方块的传递函数，并计算系统的传递函数P(s)/R(s)。 解：方框图如下;其中，G (s)二 7，G (s)二，G (s)二-12 s 3s 2 + 2 s + 4信号流程图如下：0.6 1C(s) _4.2R (s)s 3 + 2s 2 + 4 s + 4.2
8、A2-6某热敏电阻的阻值与温度的关系由右式描述：R _ R0e-o.it，式中，R _ 10K，r为 电阻阻值，T是绝对温度。热敏电阻工作在T _ 20 K附近，并且温度扰动很小。试求电阻 在工作点附近的线性化模型。解：根据线性化原则，系统的线性化模型为R _ R e-o*2o + R e0.1*20 *( 0.1)*( T 20) 00A2-7 汽车悬浮系统的简化模型如图 A2-3 所示。汽车行驶时轮子的垂直位移作为一个激励 作用在汽车的悬浮系统上。图A2-3 (b)是简化的悬浮系统模型。系统的输入是P点(车轮) 的位移x，车体的垂直运动x为系统的输出。求系统的传递函数X (s)/ X. (
9、s)。i o o i车体(a) (b)图 A2-3 题 A2-7 汽车悬浮系统模型解：由牛顿定理可得d (x - x )d 2 xk (x - x ) + b i o = m o i odtdtX k + bsoX ms 2 + bs + kiA2-8试求图A2-4所示电路的传递函数E (s)/ E. (s)。解：由电路学定律可得R +丄2 sCEoEi(sRC +1)(sR C +1)2 - 1 1 2 2* 1 sRC + (sRC + 1)(sR C +1)R 1 21 12 2R + 丄 + 1 sC12 sC2 R + 丄1 sC1s2R R CC + s(RC + R C ) +1
10、1_2 + 2 1 12 2乙 丄 乙丄 丄厶 厶s2R R C C + s(RC + R C + R C )+11 2 1 2 1 1 1 2 2 2TC2图 A2-5 题 A2-9 图A2-9试求图A2-5所示电路的传递函数E (s)/E.(s)。 解：由电路学定律可得oiR +丄2 sC21 1R + R + 2 sC 1 sC 21sC R C +C1_2_2 1sCC(R + R)+ C + C1 2 2 1 1 2B2-1将图B2-1的方块图简化，并计算系统的传递函数C(s)/R(s) 解：C(s)GGG +GG H二1_2_31_3_1R (s)1 + G H + GGH + G
11、GG + GGH + GHH22233123131313图 B2-2 前馈系统方块图B2-2 图 B2-2 是某个消除扰动影响的前馈控制系统的方块图。N(s)设R(s) = 0通过适当选择(和K2，便可使由扰动引起的输出为零。假设扰动为单位 12阶跃函数N(s)=-，选择K1 和 K2，使当R(s) = 0时，由N(s)引起的输出C(s) = 0。 s 1 2解：G(1 KK )12 N1 + GK2当 K1K =1 时,諾=0-所以当 R(s)= 时，C(s) = 0B2-3试求图B2-3所示各系统的传递函数X (s)/ X (s)，x为系统的输入位移，x为系统的o i i o 输出位移。(
12、b)ik1(a)(c)图 B2-3 题 B2-3 机械系统解:(a)设系统开始是平衡的。由牛顿第二运动定律，可得b (x x ) b x = mx1 io2 oo将上式进行垃氏变换,并整理(初始条件全部为零)得ms 2 + (b + b ) s X (s) = b sX (s)12 o1 i于是传递函数为X (s)bo=1X (s)ms + b + bi12(b) 其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A,并设A点位移为x,方向朝下；而在其下 半部xo引出点取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分 别列出如下原始方程：K (x x) = b(x x )1 ioK x = b(
13、x x )2 oo消去中间变量X,可得系统微分方程b(K + K )X + KK x = Kbx12 o12 o1 i对上式取拉氏变换(初始条件为零),得系统传递函数为X ( s)bK so=1X (s) b(K + K )s + KKi1212(c) 以x的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下方程:oK (x x ) + b (X X ) = K x1 i oi o2 o对上式进行拉氏变换，初始条件为零，得系统传递函数为X (s)bs + Ko=1X (s) bs + (K + K )i12B2-4图B2-4的液位系统，设H = 5m，Q = 0.04m3/s，C = 5m 2，试求系统在工作点的时间常数。图 B2-4 题 B2-4 的液位系统撅解:dh _ C 1 = q q1 dti101R=1
