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1、第三章 期权敏感性（希腊字母）顾名思义，期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感程度，本章主要介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标，这些敏感性指标也称作希腊值（Greeks）。每一个希腊值刻画了某个特定风险，假如期权价格对某一参数的敏感性为零，可以想见，该参数改变时给期权带来的价格风险就为零。事实上，当我们运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量的证券头寸，组成套期保值
2、组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数改变的敏感性变为零，这样就能起到消退相应风险的套期保值的目的。本章将主要介绍Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho五个常用希腊字母。符号风险因素量化公式Delta标的证券价格改变权利金改变/标的证券价格改变Gamma标的证券价格改变Delta 改变/标的证券价格改变Vega波动率改变权利金改变/波动率改变Theta到期时间改变权利金改变/到期时间改变Rho利率改变权利金改变/利率改变本章符号释义：为期权到期时间为标的证券价格，为标的证券现价，为标的证券行权时价格为期权行权价格 为无风险利率 为标
3、的证券波动率 为资产组合在t时刻的价值为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如 Excel)求得为标准正态分布的密度函数，第一节 Delta （德尔塔，）1.1 定义Delta衡量的是标的证券价格改变对权利金的影响，即标的证券价格改变一个单位，权利金相应产生的改变。新权利金=原权利金+Delta标的证券价格改变案例3.1 有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元。无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Delta为0.4255。在其他条件不变的状况下，假如上证50ETF的价格变为1.
4、810 元，即增加了0.010元，则期权理论价格将改变为：1.2 公式从理论上，Delta 精确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导。依据Black-Scholes期权定价公式，欧式看涨期权的Delta公式为： （3.1）看跌期权的Delta公式为： （3.2）其中 （3.3）为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如 Excel)求得。明显，看涨期权与看跌期权的Delta只差为1，这也正好与平价关系相互呼应。案例3.2 有两个行权价为1.900的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，波动率为20
5、%。则：1.3 性质1) 期权的Delta取值介于-1到1之间。也就是说标的证券价格改变的速度快于期权价值改变的速度。 2) 看涨期权的Delta是正的；看跌期权的Delta是负的。 对于看涨期权，标的证券价格上升使得期权价值上升。对于看跌期权，标的证券价格上升使得期权价值下降。 图3-13) 随标的价格的改变： 对于看涨期权，标的价格越高，标的价格改变对期权价值的影响越大。对于看跌期权，标的价格越低，标的价格改变对期权价值的影响越大。也就是说越是价内的期权，标的价格改变对期权价值的影响越大；越是价外的期权，标的价格改变对期权价值的影响越小。 图3-24) Delta 随到期时间的改变： 看涨
6、期权： 价内看涨期权（标的价格行权价）Delta收敛于1 平价看涨期权（标的价格=行权价）Delta收敛于0.5 价外看涨期权（标的价格行权价）Delta收敛于0 看跌期权： 价内看跌期权（标的价格行权价）Delta收敛于0 图3-3其次节 Gamma(伽马，)2.1 定义在第一节里我们用Delta度量了标的证券价格改变对权利金的影响，当标的证券价格改变不大时，这种估计是有效的。然而当标的证券价格改变较大时，仅仅运用Delta会产生较大的估计误差，此时须要引入另一个希腊字母Gamma。Gamma衡量的是标的证券价格改变对Delta的影响，即标的证券价格改变一个单位，期权Delta相应产生的改变
7、。新Delta=原Delta+Gamma标的证券价格改变Gamma同时也间接度量了标的证券价格改变对权利金的二阶影响。新权利金=原权利金+Delta标的价格改变+1/2Gamma标的价格改变2案例3.3 有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Delta为0.4255，Gamma为1.540。在其他条件不变的状况下，假如上证50ETF的价格变为1.850 元，即增加了0.050元，则Delta将改变为期权价格将改变为2.2 公式从理论上，Gamma的定义
8、为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导。Gamma衡量了Delta关于标的资产价格的敏感程度。当Gamma比较小时，Delta改变缓慢，这时为了保证Delta中性所做的交易调整并不须要太频繁。但是当Gamma的肯定值很大时，Delta对标的资产变动就很敏感，为了保证Delta中性，就须要常见的调整。 依据Black-Scholes公式，对于无股息的欧式看涨与看跌期权的Gamma公式如下： (3.4)其中，由式（3.3）给出，为标准正态分布的密度函数。 在参数相同时，看涨期权、看跌期权的Gamma是相同的。案例3.4 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有
9、6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则2.3 性质1） 期权的Gamma是正的。标的证券价格上涨，总是使期权的Delta变大。 图 3.42） Gamma随标的价格的改变：当时，Gamma取得最大值。图 3.53）Gamma随到期时间的改变： 平价期权（标的价格等于行权价）的Gamma是单调递增至无穷大的。非平价期权的Gamma先变大后变小，随着接近到期收敛至0。 图 3.64) Gamma随波动率的改变： 波动率和Gamma最大值呈反比，波动率增加将使行权价旁边的Gamma减 小，远离行权价的Gamma增加。 图 3.7第三节Ve
10、ga (维嘉, )3.1 定义Vega衡量的是标的证券波动率改变对权利金的影响，即波动率改变一个单 位，权利金应当产生的改变。新权利金=原权利金+Vega波动率改变案例3.5 有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Vega为0.4989。在其他条件不变的状况下，假如上证50ETF的波动率变为21%，即增加了1%，则期权理论价格将改变为3.2 公式从理论上，Vega精确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导。依据Black-Scholes理论进行定
11、价，则 (3.5)其中，由式（3.3）给出，为正态分布的密度函数。在参数相同时，看涨期权、看跌期权的Vega是相同的。案例3.6 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则3.3 性质1） 期权的Vega是正的。波动率增加将使得期权价值更高，波动率削减将降低期权的价值。图 3.82） Vega随标的价格的改变：当时，Vega取得最大值。在行权价旁边，波动率对期权价值的影响最大。图 3.93） Vega随到期时间的改变：Vega随期权到期变小。期权越接近到期，
12、波动率对期权价值的影响越小。图 3.10第四节 Theta（西塔，）4.1 定义Theta衡量的是到期时间改变对权利金的影响，即到期时间过去一个单位， 权利金应当产生的改变。新权利金=原权利金+Theta消逝的时间案例3.7 有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。Theta为-0.1240。在其他条件不变的状况下，假如离行权日只有5个半月了，即消逝了半个月的时间（0.0833），则期权理论价格将改变为4.2 公式 从理论上，Theta 的定义为期权价值对于到期时间改变的一阶偏导。依据Black-Sholes理论进行定价，则 （3.6） （3.7）案例3.8 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。则其中，为标准正态分布的累积密度函数，为标准正态分布的密度函数。4.3 性质1）看涨期权的Theta是负的；看跌期权的Theta一般为负的，但在价外严峻的状况下可能为正。因此通常状况下，越接近到期的期权Theta值越小。图 3.112）随标的价格的改变：在行权
