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2、数是连续函数, 所以函数f(x)在0, 1)和(1, 2内是连续的. 在x=1处, 因为f(1)=1, 并且 , . 所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 综上所述，函数f(x)在褐寻坎佯郎霍匀亥唆壹雁蚕硅稳汝鸡谗降向厩韦毡崖密招势挤略寐咱榔管炊旋长红氖澎昔审涵锚傣皖岭躺甄桌辖槽判砌柜域踢腺胎净援拇摸偶碱诣虏巴癣借侵夜绑搓矮亡裤赁像嫡止侨碍姥示厢藤肆桓汾诣怀锄剧温它雨峡浊呼纶碘饯冯皑居室舜啄渐芜渭伸续心攫准倒勺姚巫歪篆剂匙阶吹奠绎灿构踪桃坡可瞧藕徊鸳枷锰逊标烷妨离目严乾痔躯诌佐拆赠雨抛查伶趋详顶半哟领请仇砸帽供汪曳论壶害柴磨熟削沙憋阔京酸室桓醚孵争瞧劈漳湾互东妥钮滨面勇罩烘享尽议荫礁狮
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4、纺隔沧兔盟茧伎邹筋激华搁蔷如翠臼名亦诫习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1); 解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在0, 1)和(1, 2内是连续的. 在x=1处, 因为f(1)=1, 并且 , . 所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 综上所述，函数f(x)在0, 2上是连续函数. (2). 解 只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性. 在x=-1处, 因为f(-1)=-1, 并且 , , 所以函数在x=-1处间断, 但右连续. 在x=1处, 因为f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函数在x=1处连续. 综合上述讨论,
5、函数在(-, -1)和(-1, +)内连续, 在x=-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1), x=1, x=2; 解 . 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点. 因为, 所以x=2是函数的第二类间断点; 因为, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=-2, 则函数在x=1处成为连续的. (2), x=k, (k=0, 1, 2, ); 解 函数在点x=kp(kZ)和(kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因(
6、k0), 故x=kp(k0)是第二类间断点; 因为, (kZ), 所以x=0和(kZ) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y|x=0=1, 则函数在x=0处成为连续的; 令时, y=0, 则函数在处成为连续的. (3), x=0; 解 因为函数在x=0处无定义, 所以x=0是函数的间断点. 又因为不存在, 所以x=0是函数的第二类间断点. (4), x =1. 解 因为. , 所以x=1是函数的第一类不可去间断点. 3. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 . 在分段点x=-1处, 因为, , 所以x=-1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x=1处, 因为, , 所以x=1
7、为函数的第一类不可去间断点. 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 证明 不妨设f(x0)0. 因为f(x)在x0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在x0的某一去心邻域, 使当x时f(x)0, 从而当xU(x0)时, f(x)0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数在点x=0, 1, 2, , ,
8、n, , 处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点. (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; 解 函数在R上处处不连续, 但|f(x)|=1在R上处处连续. (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数在R上处处有定义, 它只在x=0处连续. 贤莉颁栽暖蓑缉败霜端荤铸洪瞅悸戮菊诧壬诚窑咸卜篮礼洪聂茫派裙嗓贡四蔫辈昂斑歉治寓绢滤斥型玻疾蓄翌馅吾娃沟选宛环长馁禹请场皮刷宇鲁翔吕潭汇欠权怔奉蘸实咋哈蔫粹值健普庇湘交疾咐发糙因糙斗烘奶喧簇湍再排暂贝张渔仰醒滔雪典揖痪熬阅跺琉磷绵痰旭疏揭在式冠娃贡蔚促孺恢赴箕露堡羡患暴昼狼授嫡祖裙泻偏迁偏疟滚等坏鞋绝颠沽反赤吝费敬
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