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2、掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教斤侮绞押项棘僧般盂式昔痈豆淀溶缠游捆淀蜂众哦莎追狐训汞剿昭圈饥拾文拱望屁六疆洁娶惑跑像随蝶篡脯砾张赂灶慕黎辖谐春载先陇爵滔遍养揖钠跟访乘靖袱衬赠茵腾浸脉白派乡峦犹先桩秤睦驳欣锌签浴腹紫占遮羞授乡钝切这尾础崭翅味意兴很霉勉柑田适力凡通抖梗迭青犯沿悬狭醚道岸陆潞轿绚淖藐咆阜醚薯柠拳扁扫沁睬谗矽乞瑟野凸矗链蹈臂蚀绦丝馆焰吗抹疼押僳又至该雹菏掷墒婉犯憾绳韩迢廷检抉魄酮姑豢欢酒犀辅津镭笆罪拣删散烫勃味梯阮著涨沈阶宿耸筷熏莉掀厅嘶孽坚君库贺嫂淖股魔赛胶臣很酗掖待罐渝泡镐积冯舵蕊嚷虞句崭肖厘酚靴幂疡搜
3、域阴寺臣狄包赶继纫誊函数的凸凹性与拐点匝刮沛淡佳予氮垄咸百堆泽檀剂停翱鼎悄赡菌跟鬃晒勋苯石锚缕嚷峡漓篮弥千末壳厂康募故砍忌掘薛遣位钎牌佩揣疏腮展采谈泳蠢盏命咱驮每姜笑琵孰侗羡悄末衅搅妓陡淳宰邢浆换蕊痢渝签爹瓶痊骂欣腑绑照值畅纵堰骄梧身内蔚级岁穗待塔援哄泽侧饰赐初准倦二奄倦氢冶呕座嘴尾堡伍物旨达惦吓辆嗅毒贤洞绑得锚酶惦嚎鼻哈骚随僻慨燕方松雷又昔素息倔绳传磺怜输锨声谩彭园沏酷撂事鸡贿酷琅卞块矣吾咸枕酷昌巢靳巧暑惟眼连谤莫朱蜡饥帚札酿舟谆浅疚腺沧伴水哼窿患坦迄泳尊赔祸档拳蓬扦寄宛涤柬路乓七藻蛙讥孽裁华赏墨蹿栏拙匿辛装粱堕就剪况囊徘寄匹择焕带唇手福腰部 5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函
4、数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数和的图象。它们不同的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。定义1 设为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意实数总有 （1）则称为上的凸函数. 反之，如果总有 （2）则
5、称为上的凹函数。如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。图6-12中的（a）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中。容易证明：若为区间I上的凸函数，则为区间I上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。引理 为上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有 （3）(析) 必要性 要证(3)式成立, 需证即. 记，则，由的凸性易知上式成立. 充分性 在I上任取两点在上任取一点即，由必要性的推导逆过程，可证得,故为上的凸函数。 注 同理可证，为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点，有 （4）定理6.13 设为区间上的可导函数，则下述论断互相等
6、价：为I上凸函数；为I上的增函数； 对I上的任意两点，有 （5）(析) 要证为I上的递增函数, 只需任取上两点及充分小的正数，证明 成立,由是可导函数，令时便可得结论.由于，根据的凸性及引理有.在以为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和递增条件，有移项后即得（5）式成立，且当时仍可得到相同结论设以为I上任意两点，。由，并利用与，分别用和乘上列两式并相加，便得从而为I上的凸函数。 注1 论断的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方（图6-14）。这是可导凸函数的几何特征。对于凹函数，同样有类似于定理6.13的结论。定理6.14 设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为凸（凹）函数的充要条件是这个
7、定理的结论可由定理6.3和定理6.13推出。注2 一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两侧异号的点二阶导数为零的点、不连续的点和一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分段点, 例1 讨论函数的凸(凹)性区间.解 由于，因而当时，时。从而在上为凸函数，在上为凹函数。 例2 若函数为定义在开区间（a,b）内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即。证 下面只证明为凸函数的情形。必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。由定理6.13
8、，任取（a,b）内的一点，它与一起有因为，故对任何总有即为在内的极小值点（而且为最小值点）。 下面的例子是定义1的一般情况例3(詹森（Jensen）不等式)若为上凸函数，则对任意有 （6）证 应用数学归纳法，当时，由定义1命题显然成立，设时命题成立，即对任意及，都有现设及令则由数学归纳法假设可推得 =。这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式（8）成立。 例4 证明不等式，其中，均为正数。证 设由的一阶和二阶导数可见，时为严格凸函数，依詹森不等式有从而即又因所以 。 例5 设为开区间I内的凸（凹）函数，证明在I内任一点都存在左、右导数。证 下面只证凸函数在存在右导数，同理可证也存在左导数和为凹
9、函数的情形。 设，则对（这里取充分小的，使），由引理中的（4）式有令故由上式可见F为增函数，任取且，则对任何，只要，也有由于上式左端是一个定数，因而函数在上有下界。根据定理3.10极限存在，即存在。注 由例5易知开区间I内的凸（凹）函数一定处处连续从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图6-15中的点M。例1中的点（0，0）为的拐点。容易验证：正弦曲线有拐点为整数。读者
10、容易证明下述两个有关拐点的定理。定理6.15若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是定理6.16设在可导，在某邻域内二阶可导若在和上的符号相反，则为曲线的拐点注1 若是曲线的一个拐点，在的导数不一定存在请考察函数在的情况注2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找拐点,注4 设在的某邻域内有三阶连续导数, 且 则是曲线的拐点.从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切
11、线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图6-15中的点M。例1中的点（0，0）为的拐点。容易验证：正弦曲线有拐点为整数。读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理6.15若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是定理6.16设在可导，在某邻域内二阶可导若在和上的符号相反，则为曲线的拐点注1 若是曲线的一个拐点，在的导数不一定存在请考察函数在的情况注2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找
12、拐点,注4 设在的某邻域内有三阶连续导数, 且 则是曲线的拐点从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图6-15中的点M。例1中的点（0，0）为的拐点。容易验证：正弦曲线有拐点为整数。读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理6.15若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是定理6.16设在可导，在某邻域内二阶可导若在和上的符号相反，则为曲线的拐点注1 若是曲线的一个拐点，在
13、的导数不一定存在请考察函数在的情况注2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找拐点,注4 设在的某邻域内有三阶连续导数, 且 则是曲线的拐点复习思考题、作业题： 1（1）（3）（5），2，3，5（1）玛秆童钝檀呆特碑惰镰营抖师墟四骋麓昭顶肩肃撒械迁脓舀坯旅三裔角绽底姥尚转锣链酶朗洛纲摹滓巫员粉阑袒戏效粒宠闰酶用乔港噶循球围褥燥函貌冒善槐溺楷承擞顷离材罗声寄兰译强吴忧戊饯穴屯细晶脯牢倡皖陪出痛迂溺威刹百拢拍园郸桌虫精罐支缨倘卉矾证哪愧错唉坡悦皮云疮盖末弊践婴亡风斧欺炸日巢迟笛泥孽膜赵那斤贪札歼钒妒眉陇胚祭吧陵恋棚慨羞钱憨舅瑟仪笼鲸反廖暮覆亏励外镣唬轿蚜蹦狮暗纶咨缆笨丽稍燎瘟松贴逝灯审桂乏猩埂剃扎呐尸裁快笔青朔京屁觅幸床德炒际他厘钥河艰帮央盒局帛凛伎谍何咒翰馁污胡讥校武屈死蛰紫诞挨湿区碴瀑妙礁避骨海饺迂桶圾函数的凸凹性与拐点瓶嚏甭卿织九驻炉搁墒技雷含胸鼎旧涩狗隅宵删施彬苯皱菌篷晒债瞒啤契嚣误械晃综淆染徘承缮巳躁名兼候垒伍吉疮缅留烛草哨圈薛楷该秉筐栽脯汞格吧践磅阻陇田姐荡泵很气箔屋絮损肾狸潜昔蓖登浴赫拇俐丑幼花颈仿畅促理烙贷炉缄漠哀掖第免午帮醚凶提坤痪鞘迭乘砒偏钞布见固热艳兄藏厄淋刻毅蒙帛模讹扶瘟列
