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1、等腰三角形存在性问题例析我们先来看下面一个作图题.如图1，已知线段AB，在过A点的直线a上求作点P，使ABP为等腰三角形.分析 由于腰和底不确定，所以要按等腰三角形的边分情况讨论；当AB是腰时，哪一个角是顶角不确定，所以再按顶角进一步分类讨论.请读者自行完成，满足条件的点有4个.在近年来的中考题中，涉及等腰三角形的存在性问题很多，其类型及思考方法多为上述作图题(已知一边求作等腰三角形).请看下面两例.例1 (07年龙岩市)如图2，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛
2、物线的解析式；(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.解 (1)抛物线的对称轴.(2)由C(0,4)及得B(5,4)，又AC=BC=5，OC=4，OA=3.A(-3,0).把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，解得，.(3)存在符合条件的点P共有3个，以下分三类情形探索.设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M.过点B作BQx轴于Q，如图3，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=.以AB为腰且顶角的顶点为A的PAB有1个：P1AB.AB2=AQ2+BQ2=82+42=80.在RtANP1中
3、, ，.以AB为腰且顶角的顶点为B的PAB有1个：P2AB.在RtBMP2中，.以AB为底，顶角的顶点为P的PAB有1个，即P3AB.画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰ABC的顶点C.过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然RtP3CKRtBAQ.P3K=2.5，CK=5.于是OK=1.P3(2.5, -1).例2 (07年沈阳市)已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图4所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点.(1)若点M的坐标为(1,0)，如图4，以OM为一边作等腰OMP，使点P在矩形ABCD的一
4、边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；(2)若将(1)中的点M的坐标改为(4,0)，其它条件不变，如图5，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；(3)若将(1)中的点M的坐标改为(5,0)，其它条件不变，如图6，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个(不必求出点P的坐标).解 (1)符合条件的等腰OMP只有1个，点P的坐标为(,4).(2)符合条件的等腰OMP有4个.如图7，在OP1M中，OP1=OM=4，在RtOBP1中，BO=，.在RtOMP2中，OP2=OM=4，P2(0,4).在OMP3中，MP3=OP3，点P3在OM的垂直平分线上.OM=4，P3(2,4).在RtOMP4中，OM=MP4=4，P4(4,4).(3)若M(5,0)，则符合条件的等腰三角形有7个.点P的位置如图8所示.浙江省嵊州市马寅初中学 张樟兴 张正华来自中学生数学2008年2月下
