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1、二次插值法亦是用于一元函数了 （g）在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲 线拟合方法的范畴。一、基本原理在求解一元函数/）的极小点时，常常利用一个低次插值多项式戸（圧）来逼近原目标函数， 然后求该多项式的极小点（低次多项式的极小点比较容易计算），并以此作为目标函数畑 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合， 直到满足给定的精度时为止。常用的插值多项式戸（汰）为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我 们主要介绍二次插值法的计算公式。假定目标函数在初始搜索区间b上!中有三点、和仕（& 耳 侧 町，其函数值分别为X和広（图1,且
2、满足乳扎,即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式$为待定系数。式中根据插值条件，插值函数讽国与原函数了妝）在插值结点蚪、丘、珥处函数值相等，得）=術+陌盘+知住矽=f/）= aa +说口+%=N（2）为求插值多项式刈甸的极小点，可令其一阶导数为零，即_ 0声尸k斗0丛炉）禺斗沁曲山圉）胡叫护一护-朋）=-y-解式即求得插值函数的极小点（4） 式中要确定的系数听勺可在方程组（2）中利用相邻两个方程消去而得:&-比十丘-少比十&-直）禺（仕一辭一母x民一）(6)将式（5）、代入式便得插值函数极小值点的计算公式:（护_少）齐+ （护）_护比+
3、 （少_比（7）把氐戸取作区间内的另一个计算点，比较住戸与两点函数值的大小，在保持了価）两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的此作为了（）的 近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。为便于计算，可将式（7）改写为式中：、迭代过程及算法框图（1）确定初始插值结点通常取初始搜索区间3上的两端点及中点为二a氐二3於=0-乂少+少）， ，计算函数值K =丁（少），壬=丁阳），禺二了3）,构成三个初始插值结点勺玖计算二次插值函数极小点*按式计算叫，并将理记作点少,计算uWH。若本步骤为对初始
4、搜索区间的第 f 丁)一次插值或盘点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(3)缩短搜索区间缩短搜索区间的原则是：比较函数值、人，取其小者所对应的点作为新的点，并以 此点左右两邻点分别取作新的宀 和，构成缩短后的新搜索区间。其具体方 法则如图2所示，根据原区间中分和的相对位置以及函数值壬和兀之比较有a、b、 c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢去的区间。在对新区间三个新点的代号作依於、的一般化处理后，计算其函数值，并令X =了的，二了丘)，二几庐), 返回步骤(2)。3AfiAA0图 2(a)图 2 （ b ）sAAfioa(t)图 2 （ c ）flAoa.图 2 ( d )(4)
5、判断迭代终止条件在一般情况下，因是前一次插值函数的极小值点，出是本次插值函数的极小值点，若 c c少-住 y几”叮占、A fh J*r申严申*/叭斷严 + “y宾寸，,茁，冷亠山(4二j r5,J)V S? j 0.歙严+ Z1 一 “局亠m图31判别框17-n若成立，按式(9)和式(10)则有算法框图中有几点需作些说明。说明三个插值结点 1.( J 了】)、2 ( 在一条直线上;2判别框&-少脳-少卜。若不成立，说明落在区间之外。上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近，计算机的舍入误差才 可能使其发生。此时取和A作为最优解应是合理的。3在初始搜索区间第一次插值或盘仍为初始给定点时，分和并不代表前后二次插值 盘_盘仝、-一函数极小点，因而判别式并不能确切地反映该不该终止迭代，这时应进行宀宀-昂 芒步骤缩短搜索区间，直至初始点氐 第一次由仕 代替，使用判别式进行终止判别才具意义。为此，算法框图中设置开关K=0和K=1分别表示初始点抚第一次 由泌代替前和后的状态。
