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1、力学竞赛模拟题集一、如图1所示，一个质量为m、外径为R的溜溜球静止放置在桌面上，设球对质心轴C的回转半径为R心2，内径为r，绕在细绳上。在绳端施加（1）若桌面光滑，试分析当0= 0, Z兀时，溜溜球的滚动方向?方位角为0的拉力F。不考虑滚动阻碍。?（3）若桌面光滑，溜溜球2（2） 0为多大时，可确保溜溜球只滑不滚?能否只滚不滑？其条件是什么?解：（1）在桌面光滑条件下，0= 0,殳，兀时,溜溜球的滚动方向均为逆时针。（2）溜溜球的受力分析见图2。得,图2据刚体平面运动微分方程:F cos 0 - F = maf cF sin 0 - mg + F = 0N(2 mR 2 )a = Fr - F
2、 R要求不滚，则a= 0，Ff =新，代入式可要求滑动，则a 0，CrF cos 0 - F = maRccos0 即可。RrF cos0 - F 0，R（3）要求只滚不滑，贝 =- RC代入刚体平面运动微分方程，消去aCF = (2r + cos9 )f R3又因F F（mg 一 F sin 9）fN要求只滚不滑与桌面光滑程度无关，则sin 9mg2rR因此，条件是mg F， 2r R。二、孙悟空的如意金箍棒中国四大古典名著的西游记中的孙悟空本领高强，神通广大，深得 人们喜欢。尤其是他的兵器一一如意金箍棒，帮他大闹天宫，降妖除魔。 传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器，原来放在东海龙宫
3、之中 时，重一万三千五百斤（一公斤合二斤），有二丈长（一米合三尺，十尺合 一丈），碗口粗细，一般饭碗的直径约合10厘米。1、金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小，如果金箍棒在变 化过程中，保持总重量和尺寸比例不变。只考虑自重影响，强度控制条件 宙=1000MPa，试分析在固定一端，分别竖直放置和水平放置两种情况下长 度变化范围。如果保持密度和尺寸比例不变呢？2、孙悟空和二郎神打斗之时，不提防太上老君自上扔下金刚琢，悟空 本能地双手举棒迎接，金刚琢正好垂直打中金箍棒中间，如金刚琢重为P， 无初速自由落体，下落高度为H，孙悟空两手为刚度为k的弹簧支座，金 箍棒的刚度系数为EI。试计算金箍棒中
4、的最大挠度。3、因被金刚琢击中，手中金箍棒被震脱手，从云端落下，设高度距离 地面h，棒与水平面的夹角为9，落地时棒的一端与光滑地面碰撞，恢复系 数e二0.5，则一次碰撞后金箍棒能弹起多高？再次与地面碰撞时，金箍棒与 地面的夹角为多少？4、孙悟空有时为了震慑对方，操起金箍棒，把山石打得粉碎，这个过 程为典型的碰撞过程。悟空发现单手握棒击打时，只要控制好持棒位置和 金箍棒击打石头的位置和方向，就能使手上的震动力很小或没有，试建立 合适的力学模型并给出分析过程、结论。解:1、自重不变时,d _ 0.1 _ 1l 66.7667竖立放置时：W = Q , l = d 丄，:亘A 兀 d 2a ai 兀
5、 Q Wl水平放置时：工=_16W Q，兀d 3 兀ad 2IT综上，可得竖立放置时决定长度的极小值密度不变时，竖立放置时:4WP=而2Ap = 1P Q，A1P 12_ 4兀d 2 p12兀d 3兀d 3综上，可得水平放置时决定长度的极大值水平放置时:=弩=卫 6, al a1 aQ-4 P2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为k的弹簧上，则梁跨中截面的静位移为:A st =焉+矗动荷系数K =.L 2h1 +-1 + -Ast则 A = K Add st棒下落时作平动，有VA3、据碰撞时的冲量定理有， mu + mv = ICC据相对质心的冲量矩定理，丄ml 2- 0 = -I cos 0
6、12棒的质心和碰撞点的速度关系为：在竖直方向投影得：u = u + c 00 sA JC2根据恢复系数的定义知Cu = u + uA2uA =vu + cos 0 C 2Ay综合可得二丽cos0 ,1 + 3cos20_ 丽(1_ 6cos20)UC2(1+ 3COS2 0)3m J 2gh2(1+ 3cos2 0)4、棒打击石头与石头打击棒情况类似，建立如图所示坐标系，应用碰撞时的动量定理有mu - mv = I +1 ，C:xC:x x 0:xmu 一 m = I +1CyCy y 0y碰撞前后棒与石头无切向相对速度, 则有I = m (u- v ) -1 ， I = -1xC:xC:xO
7、yOy手中无碰撞冲量时，有I二m(u -v )， I二0xCCy上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒，根据冲量矩定理有J一 J二Il0 2 0 1考虑到速度关系有I = m (u -v )二 ma (一)xC C2 1即碰撞点到手的距离为l =:Loma此即为撞击中心，手握点为固定点，石头撞击棒点为K点，手中无撞击力。不难验证，手和撞击中心的位置互换后，结论相同。三、周学生杰伦酷爱滑板运动，热衷挑战各种高难动作，人送雅号“滑 板小子”周学生身材匀称，体重50kg，滑板轮心距a = 0.65m，重量不计。 周末，他滑至一条河边，河面宽为L = 3m，河上仅平铺木板一块(宽度130mm,厚18mm）,
8、斜坡倾角甲二30。如图3所示。O（1）假设滑板滑行速度最大可达20 km/h，不计空气阻力，周学生能直接 飞越过河到达对岸吗？ （2）假设木板的0 = 40MPa，周学生前后对称站立 于滑板上，他能乘滑板（双脚始终在上面）通过木板到达河对岸吗？为什 么？（3）若无前后对称站立于滑板的限制条件,他能乘滑板到达河对岸吗？为什么？图3解：（1）取周学生和滑板组成系统为研究的质点。d 2 xdvm= m 十=F = 0dt 2dtxd 2 zdvm= m z =F = -mgdt2dtz由初始条件：t = 0时，x = z = 0，v = v cos p ， v = v sin p ； 积分可得x 0
9、yx = v cosp -10 1z = v sin p -1- gt2I 02上式消去t,得轨迹方程gz = x tan p -x 22v2 cos2p0令 z = 0，代入甲=30 ， v = 20 km/h， g = 9.8 m/s2，解得0x = 2.72m 或 x = 0m （舍去） 因x二2.72m b 二 40MPamax W7020所以，在此情况下，周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。.(3)人站立于滑板任意位置上，板AB的受力如图5所示,其中 二 P，沖对称时，支座约束力1 2F = (1-)P-X， a 2 L LaPF=P + Xb2 LLM = F (- - -)， M
10、 = F (-) C A 22D B 22板跨中截面弯矩 图3D 二 F+f代-2=2(2- 2)M不随人体位置调整而变化，所以，在此情况下，周学生仍不能乘滑板通过木板到达河对岸。四、用手弹出一质量为m、半径为R的乒乓球，在地板上运动，使质心保持 直线运动。质心的初速度为V，转动初角速度为o。假设乒乓球与地面的0 0滑动摩擦系数为f。(1) 求经过多长时间，乒乓球不再向前面运动?(2) 求乒乓球运动到最远距离后，不再向回滚动的条件。解答：(1)mg-fmgdv=mdt积分：v - vo - fgt当v二0时,0-fg“d-fmgR = Jc 页积分:fmgRt将t=fo代入上式得:mv R二一
11、 o当 = 0时，可以得：v =仁0 mR 0考虑到装动惯量Jc 5代入上式得：v = 2R05 0五、杂技团表演平衡木杂技,在长为l的平衡木上站了 n个体重相等的演员, 且所有演员之间的间距相等。试求：该平衡木上最大弯矩的一般表达式？ 解：将该模型简化为简支梁，如图5所示，梁长为1，n个演员之间距离为 1 /(n +1)，演员体重均为F/n，则在AB两端约束反力均为F/2。根据题意发 现，最大弯矩总是发生在梁的中间1 /2处。(1)如果演员总数是偶数个，则取中间1 /2截面截开，每侧作用有约束反力F/2、n/2个集中力F/n，则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：“ FIFA / F /21F
12、 l 引、M = x x ( ) x ( ) x ()max 22 n 2 n +1 n 2 n +1 n 2 n +1F /l n l 、 x () n 22 n +1Fl F l n F= X X +x4n 2 2n占(i+2+3+彳)n (n 1)=F x 丄(1+2+3+n)=亠 x A=n n +12n(n +1)28(n +1)F x LF x (L丄)22 n 2 n +1丝)F x dn +1 n 2(2)如果演员总数是奇数个，则取中间l/2截面截开，最大弯矩侧作用有约束 反力F/2、(n +1)/2个集中力F/n，则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为:M =maxF J n 1
13、 l 、 x () n 22 n +1F 丄x丄x+ F x丄(1 + 2 + 3 + + 口)n 1)4 n 2 2 n n +12=-x 丄(1 + 2 + 3 + + n n +1Fln(n +1)Fl (n 1)8n六、如图所示，等直杆一端固定，另外一端受到沿轴线方向的集中力，大 小为F,该杆半径为R选用弹性模量为E、泊松比为p =0.25的各向同性 材料。为了加固该杆件，在实心杆的基础上套上一个厚度为5的套筒(6R)，套筒与杆件选用相同的材料，亦不考虑套筒与杆件之间的摩擦。如 果所选用材料为脆性材料，许用压应力是许用拉应力5倍，试分析套筒能否使杆件承受更大的载荷。 解：若杆件受到压力等于许用载荷为F,而
