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1、第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证法一：(比较法)(a2b2)(c2d2)，(acbd)2=.=(adbc)20证法二：(综合法)(a2b2)(c2d2)=a2c2a2d2b2c2b2d2=(acbd)2(adbc)2(acbd)2.(要点：展开f配方)证法三：(向量法)设向量m=(a,b),n=(c,d)，则丨m1=a2b2,|n1=vc2d2.*.*mn=acbd,且mn=1mIInIcosm,n,则丨mnlIacbdI或va2
2、b2c2d2IacIIbdI或a2b2c2d2acbd. 提出定理2：设u,0是两个向量，则IQ卩IIQII卩I.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)-，或者Q,0共线)练习：已知a、b、c、d为实数，求t2+2丨d2(a-c)2(b-d证法：(分析法)平方f应用柯西不等式f讨论：其几何意义？(构造三角形)2. 教学三角不等式：出示定理3：设x,y,x,y(x-x)2+(y-y)2.1122v112271212分析其几何意义f如何利用柯西不等式证明f变式：若x,y,x,y,x,y(ac+bd)2；x2+y2+x2+y2(x-x)2+(y-y)2丫11丫2.2X12123.如何利用二维柯西不等
3、式求函数y=、；x-1+*2-x的最大值？要点：利用变式IacbdIfa2+b2c2+d2.二、讲授新课：1. 教学最大(小)值： 出示例1：求函数y=3点二！+的最大值？分析：如何变形？f构造柯西不等式的形式f板演f变式：y=q3x1.10-2xf推广：y=ajbx+c+dJef,(a,b,c,d,e,f(3x+2y)2=-131313出示例2：若x,y2.xy分析：如何变形后利用柯西不等式？(注意对比f构造)要点：11111xy2xy2)2(丄)2vx讨论：其它证法(利用基本不等式)练习：已知a、beR，求证：（ab）（1-），4.ab3.练习：ab已知x,y,a,beR+,且一+=1,则
4、x+y的最小值.xy要点：x+y=（-+）（x+y）=.f其它证法xy若x,y,zeR，且xyz=1，求x2+y2+z2的最小值.(要点：利用三维柯西不等式)+_变式：若x,y,zeR，且xyz=1，求jxyyJT的最大值.+第三课时3.2一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2),(acbd)2；(a2+b2+c2)(d2+e2+f2),(adbecf)2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式： 提问：由平面向量的柯西不等式I卩11III，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式? 猜想：结论：n维向量的坐标？n
5、维向量的柯西不等式及代数形式?设a,a,a,b,b,beR，贝12n12n（a2+a2+a2）（b12n1T讨论：什么时候取等号？（当且仅当aa=bb12设B=abab+9b，A=a2+a2+1122nn12+b2）,na二nbna2，n+ab+ab）222nn口号，时取等号，假设b丰0)iC=b2+b2+b2，贝y有B2一AC,0，12n联想：些什么？ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？要点：令(x)=(a2+a2+a2)x2+2(ab+ab+0，从而结合二次函数的图像可知，A=bc,求证：a一bb一ca一c可联想到一(注意分类)f板演f变式：求x2-的最小值.2314要点：（
6、a-c）（亠亠）=（a一b）+（b一c）（亠亠），（11）2=4a一bb一ca一bb一c提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:aa12ab+ab+ab1122nn,ac+ac+ac1122nna;bbb.c,c,c是b,b,b的任n12n12n12n（同序和）（乱序和）排列,贝有,ab+ab+ab（反序和）1n2n一1n1当且仅当aa=a或b=b=b时，反序和等于同序和.12n12n(要点：理解其思想，记住其形式)2. 教学排序不等式的应用： 出示例1：设a,a，,a是n个互不相同的正整数，求证：12n1 11aaa1,+a,2,3+n.2 3n12232n2分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设b,b，,b是a,a，,a的一个排列，且bb，由排序不等式，得2232n2aaabbba,2,3,nb,2,3,n12232n212232n2小结：分析目标，构造有序排列. 练习：已知a,b,c为正数，求证：2(a3+b3+c3)a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，于是a2a,b2b,c2ca2c,b2a,c2b，a2a,b2b,c2ca2b,b2c,c2a，两式相加即得.
