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1、乘法公式的复习一、复习:（a+b）(a-b)ab2 (ab)2=a+2abb2 (a-b)2=a2-2ab+b2 （+b）（a-b+b2）=a （-b）（a2+ab+b2)=ab3 归纳小结公式的变式，精确灵活运用公式: 位置变化，(x+)(-y+x)=x-2符号变化,(-+)(-x-)=(-x)2-y= x-y2 指数变化,(x+y2)(2-y2)=x4-y4 系数变化,(2+b)(a-b)=4a-b2换式变化,xy+(z+m)x-(z+m)=(xy)-(z+m)2=x2y2-(z+m)(+m)=x2y-(2+zm+2)=2-z2-zm-m2增项变化,(x-+z)(x-y-z)=(-)2-z
2、=(x-y)(-y)-z2=x2-y-xy+2-z2=2-2xy+2-z 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-)(x2+2)=4- 逆用公式变化,(-y+z)2-(x+y-z)2 =(-y+)+(x+y-z)(-y+z)-(+y-z) =x(-2y+2z) =-4x+4xz例已知,求的值。解： =, 例2.已知,求的值。解: =， 例3:计算1992-19解析此题中=19+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解:1999218 1999-(1991）(999-1) =1999-(99921）1992-199+1=1例4:已知+b=2,a=1，求2+b和(a-b
3、)2的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。解:a2b（+b)-2ab=4-2= (a-b)=(a+)4=4-4=0例5:已知x-y=2,y-z=，xz=14。求x2-z2的值。解析此题若想根据既有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x-z2是由x+z和-的积得来的，因此只规定出x的值即可。解:由于-=2，yz=2，将两式相加得-z=4,因此2-z(x+z)（x-z)=1445。例：判断（2+）（2+1）（4）（204+1)+的个位数字是几？解析此题直接计算是不也许计算出一种数字的答案,故有一定的规律可循。观测到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解：（2）（2+1）(24+1）（22
4、0+1）+1 =（2-)（+）(24+1）(2041）+1 209 16024由于当一种数的个位数字是的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是,因此上式的个位数字必为6。例7.运用公式简便计算（1)103 （）18解:(1）1032=(10+3)2 =102+210+2 =10000+600+=1060 (2)982=(20-2)2=-220+22=40000-00+4=39204例计算(1）(a+b-3c)(-4b-3) （2)(3x+y-2)(3-y+2)解:（1)原式=(-3c)+b(a-c)-4b=(a-3c)-(4)2=a-ac+c2-16b2 ()原式=3x+(y-)3-(y-2
5、)=9-( y-4y+)=9x2-y2+y-4例9.解下列各式(1）已知2+b2=1,a=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。（2)已知(a+b)=，(-b)2=4，求a+b2，ab的值。(3）已知a(a-1)-(2-b)=,求的值。（4）已知,求的值。分析:在公式(a+b)2=a2+b+2ab中，如果把a+b，a+2和ab分别看作是一种整体，则公式中有三个未知数,懂得了两个就可以求出第三个。解:（1)a+b=13，ab= (a+b)2=a+2+=+2=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-26=1 (2)(a+b)=7,(a-b)2=4 a+2+b=7 a2-2ab+2=4 +得2
6、(a2+b2)=11，即 -得 ab=3,即 (3)由a(a-)-(2-b)= 得a-b=-2 （）由，得 即 即 例1四个持续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?为什么？分析：由于123+=25=52 234+=121=12 35+=361=12 得猜想:任意四个持续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，+1,n+，n+3是四个持续自然数则(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(+1)(n+2)+ =(n2+3n)+2(n2+3n)+=(2+3)(n2+3+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整数， n2，3n都是整数 n2+n+1一定是整数(n+n+1)是一种平方数 四个持
7、续整数的积与的和必是一种完全平方数。例1计算 （)(x2-x+1) （2)(m+n-p)解：（)(x2-x+1)2=(x2)2+(-)2+2+2 x(-x)+2x2+2(-x)1=4+x+1-2x3+2-2x=x4-2x3+3x2-2x+ (）(3m+-p)2=(m)+n2+(-p)2+23n+23m(-)+2n(-p)=9m2+2+p+6mn-mp-2np分析:两数和的平方的推广 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+(a+b)+c2 =a2+2b+b2+2ac+2bc+2 =a+b2+c+2b+2c+ac 即(a+c)=a2+b2+2+2a+2bc+ac几种数的和的平方，等
8、于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉，精确地掌握其特性,为辨认和运用公式打下基本,同步能提高学生的观测能力。例1. 计算: 解:原式(二）、连用:持续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算:解:原式例3. 计算:解：原式三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边互换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例.计算:解:原式四、变用:题目变形后运用公式解题。例.计算:解：原式五、活用: 把公式自身合适变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，通过变形或重新组合，可得如
9、下几种比较有用的派生公式：灵活运用这些公式,往往可以解决某些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.已知,求的值。解：例7. 计算：解:原式例8. 已知实数x、满足,那么（ )解:由两个完全平方公式得:从而 三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特性，认清公式中的“两数”. 例 计算(-2x5）(x-5）分析：本题两个因式中“-5”相似，“2x2”符号相反,因而“5”是公式(a+b)（a-b)=a2-b2中的a，而“22”则是公式中的b. 解:原式（-5-x2)（-x2）=(5)2-(2x2)=25-x. 例2 计算（-a+4b)2 分析：运用公式(a+b）2=2+2abb
10、2时，“-2”就是公式中的,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(-a2)2时，则“4”是公式中的,而“a2”就是公式中的b.(解略） （二）、注意为使用公式发明条件例 计算(2xyz+)(2+z5）. 分析:粗看不能运用公式计算,但注意观测，两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式. 解：原式=(2x+5)+(y-z)（2x+5)-（) (2)2-(y-z）2 42+20x+25-y+2zz 例4 计算(-1)2(a2+a+)2(a+a3+1)2 分析：若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则
11、,则可运用乘法公式,使运算简便.解：原式(a-1)(2+1)（a+a3+1）2 =(a-1)(a6+)2 =(a-1)2=a82a9+1 例 计算(2+1)（1)(1）(8+1）.分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁，但若添上一项（21），则可运用公式，使问题化繁为简 解:原式=(-1）(21）(2+)(24+1)(2+1) =(22)(22+1)(24+1)(21） =(24-1)(2)(28) （281）(2+1） =216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+)2=a2+ab+，可推广得到：（a+b+c）=b2+c2+2b2ac+2bc可论述为:多项式的平方,等于各项的平方和，加上每两项乘积的倍. 例计算(+-3)2 解：原式=(x)+2+()2+22xy+2x(3)+2y(-3） 4x229+xy-12x-6. （四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式 例7 (1)已知x+y=0,x+y3=00,求x2+的值; (2)已知：+2y7，xy=,求(y)2的值. 分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x+y2=(x)2-y，xy3=(+y)3-x(x+y）,（x）(x-y)2=4x,问题则十分简朴 解:(1)=(x+）3-3xy（xy）,将已知条件代入得10=103-3xy10， xy30 故x2y2=(xy)2-2x
