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1、高等数学基础第二次作业导数与微分(一) 单项选择题1设f (0) =0且极限lim丄凶存在，则7 xA.C.f(0) f (x)B.D.f (x) lim x刃xf (0)0f (x0 2h) f (x0)2.设f (x)在x0可导，则ljm2h B. f(x) D. - f(X。) 3设 f (x)二ex，贝U 啊 f (j x) 一 f (1)(a)A. -2f(X。)C. 2f (Xo)A. e1C. e2xB.D.2e1e4(D).(D).4设 f (x) =x(x -1)(x -2) (x -99)，则 f (0)A. 99C. 99!B. 99D. -99!5下列结论中正确的是(C
2、 ).A. 若f(x)在点X。有极限，则在点X。可导.B. 若f (x)在点X0连续，则在点X0可导.C. 若f(x)在点X0可导，则在点X0有极限.D. 若f(x)在点X0有极限，则在点X0连续.(二) 填空题f(x)= x2sin110,X，则 f (0)二2设 f (ex)二 e2x 5ex，则d f (lnx)dx2 In x 5x3曲线f (x)1在(1,2)处的切线斜率是n曲线f(x)二si nx在(一，1)处的切线方程是 y=1.2 5. 设 y =x2x，则 y 二x2x 21n x 2 ” 16. 设 y = x I n x，贝U y ：x(三) 计算题求下列函数的导数 y
3、:点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。 y = (x x3)ex解：y 丄(x2ex 3ex)32 x2 xxx2ex2e 3e2ex(x23)i3 2x222=cot X xIn解:”,cosxy =( sin x= 1sin x2,、. ，一sin xsinx-cosxcosxx In x)(2xln x x解:In x2xIn x -xIn2 xx(2In x -1)In2解:解:解:解:解:sin2 x22xIn x )xxcosx 2(sin x 2x In 2)x3-(cosx 2x) 3x26x-xsin x In 2 2xx -3cos
4、x -3 2xIn x -x2sin x12(2x)s in x-cosx(l nx-x)八xsin2 x(1 - 2x2 )sin x - xcos(In x - x2)二 x4 -sin xln xxsi ny 二 4x3 -(cosx In=4x3 -cosx Inxsin x x2sin x、 x)xsin x3x(cosx 2x)3x - 3x In 3(sin x x2)32x2cosx 2x - In 3(sin x x )tan x In xy 二(ex tanx3xx e2cos x xxe (sin xcosx 1)2 cos x2求下列函数的导数 y :这组求函数的导数计
5、算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当 中间变量不多时，也可直接求。设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本 初等函数的四则运算。解:12jx=ln cosxy =eeWx2x解:” 一sin x y = cosx=_ta n x二 xx.x解：因为y1=x2117488x x 二 X1,87x8 y = sin 2 x 解：因为 y =2sinx cosx 二 sin 2x彳1 21 所以 y (x x2) 3(132二 sin xy 二 cosx2 2x=2xcosx2x二 cosex xy - - sin e eX x=-e sine=sinn xcos n
6、xy 二(sin n x) cos nx sinn x (cos nx)nsin n x cosx cos nx sinn x( -sin nx) n n si nnJLx(cosxcos nx - sin xs in nx) y =5sinx解：设 y =5Uu =sinxusin xy = yu ux =5 In 5 cosx = In5 5 cosx 注：因只有一次复合，也可直接计算。 y 二 ecosx解：设y二eu所以yy解:y解:y解:y = yu Uxu = cos xucosxe(-sin x) = -esin x注：因只有一次复合，也可直接计算。3.在下列方程中，y = y(
7、x)是由方程确定的函数，求 y :点评：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程两端对自变量x求导，将Y视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程 两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。解：将方程两边对 x求导：y移项2 y卜c o x - ys i nx= 2e yy (cos -2e2y) = ysirx所以: ysinxcosx 2e y = cos y In x解：将方程两边对 x求导：y = (cos y) In x c o y( I nx)”c o 罗y - -sin y y In xx移项 y (1 s
8、in y In x) = csycosyx所以：y =x(1 + In xs in y)2x 2xsin y 二y解:2xy_x2y2simy 2xcosy y -2x2X y y空2simy yy =2cx2xcosy 2 y y = x In yF解：因为：y =1 上 y-1厂y2解：将方程两边对 x求导:1 ey y 二 2y y x解得y In xey2_ 2xy -2y simy 2xy2 cosy x2整理得：y=x(2y -ey)2x y 1 二 e sin y解：将方程两边对2y y整理得:eyx求导：xsin y e cos y yx_ e sin y 2y -ex cos
9、y3-y解：将方程两边对 x求导：ey y ex -3y2 y整理得：x八 ey -3y2 y = 52 *解：将方程两边对 x求导:y5x|n5 2y ln 2 y整理得：”5xln 5yy1 -2y In 24.求下列函数的微分 dy : y = cot x cscx解：因为 y =12sin x（丄）sin xcosx12一 . 2sin x sin x1 cosxsin2 x所以dy1 cosxdx.2sin xIn xsin解：因为爲nx - cosx Inxsin2 xsin x - xcosx In x.2 xsin x所以dysin x - x cosx In x.2xsin
10、xdx2 y =sin x解：设y 二 u2u 二 sin xUx=2u cosx = 2sinx cosx= sin2x所以 dy= sin 2xdx y = tan ex解：设：y = tan u , u = ex 贝V y = yu uxxecos uXe2xcos e所以x e dy= 厂匚dx cos e5求下列函数的二阶导数:点评：这组是求高阶导数的计算题。高阶就是导函数的导数，除了对象以外，定义思想和 求导方法都与以往类似。 y = . x1解：2x y = 3x解：y、3xl n3 y = (3x In 3) = 3x In 3 In 3 y = I n x1 解：y1y =()=XX12X y = xsin x解: y = sin x xcosxy =(six xcos:)二cox cox-xsirx =2c o x -xs i rx(四)证明题设f (x)是可导的奇函数，试证 f (x)是偶函数. 证明：因为f (x)是奇函数，所以f(_x) = _f(x) 又因为f (x)可导，函数f(-x)为复合函数。对f (-X)二f (x)两端对x求导，得：f ( X)(-x) f ( x) 即- f ( -x) - - f (x) 所以：f(-x) = f(x) 根据偶函数的定义，f(X)是偶函数。
