第四部分数学运算下

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1、第四部分数学运算下 八数、整除、余数与剩余定理 1.数的整除特性 被4整除：末两位是4的倍数，如16,216,936 被8整除：末三位是8的倍数，如144，2144，3152 被9整除：每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549 被11整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。如，121，231，9295 如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除 如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。 例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

2、那么，这四个自然数的和是： 析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，210，此题得解。 2.剩余定理 原理用例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，余数还是2. 一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数 所得到的数，除3还是能得到这个结论。 例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（） 析：7是最小的满足条件的数。9，5，4的最小公倍数为180，则187是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。 例：有一个年级的同学，每9人一排多5人

3、，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？ 析：题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，14。 第二步，找出满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数。14除以7不余1；再试14+9这个数，23除以7照样不余1；数取14+9*4时，50除以7余1，即满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数是，50； 第三步，找符合三个条件的。50除以5不余2，再来50+63（9，7的最小公倍数）123，除5仍不余2；再来，50+126，不余2；当50+63*4时，余2，满足3个条件，即至少有302个人。 例：自然

4、数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7.如果100P1000，则这样的P有几个？ 析：此题可用剩余定理。但有更简单的， P+1是10的倍数 P+1是9的倍数 P+1是8的倍数 1-1000内，10，9，8的公倍数为，360,720，则P为359,719。 3.84*86？ 出现如AB*AC=?，其中B+C=10，计算结果为：百位数为A(A+1)，十位/个位数为：B*C。注：如果B*C小于10，用0补足。如：29*21,百位数为2*3=6，个倍数为1*99，则结果为609. 4.根号3,3次根号下5，哪个小？ 这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个

5、是2次根号，一个是3次根号，则应该用6次根号包住它们。根号3，可以化成6次根号下27；3次根号下5，可化为6次根号下25,则根号3大于3次根号下5. 九等差数列 性质： （1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间那两个数的平均值（偶数个数） （2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即 A(n+i)-An=A(m+i)-Am 例：An是一个等差数列，a3a7a108，a11a44，则数列前13项之和是： A3-a10=A4-A11=-4 这道题应用这两个性质可以简单求解。 因此A7=8+4=12，而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7，因此这13个数的和为 1213=1

6、56 十抽屉问题 解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。 例：一个布袋中由35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？ 析：最不利的情况是，取出3个蓝色球，又取了2个绿色球，白、黄、红各取3个，这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取：3+2+3*3+115个球。 例：从1、2、3、4、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ 重点 析:考虑到这12个自然数中，满足差为7的组合有，(12，5)，（11，4），（1

7、0，3），（9，2），（8，1），共五种，还有6,7两个数没有出现过，则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，还有6,7各取一个，再取一个就有两个数差为7了，则取了5+2+1=8个。 例：学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同 析：不同的情况有，都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术，最不幸的情况是，4组人都参加了这7项，共28项，这样，再加入1人，即29人时，满足题意。 十一.函数问题 这种题型，土方法就是

8、找一个简单的数代入。 X3+Y3=(x+y)(x2-xy+y2) 1.求值 例：已知f(x)=x2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x)，则f(2)是多少？ 析：既然f(2+x)=f(2-x)，当x=2时，方程成立，即f(4)=f(0)，求得a=-4，得解。 例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求f(2008)=? 析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0 例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=? 析：f(3)=-1/f(2)=1/2007，f(4)=-1/-1/2007=2007，f(5)=-1/2007，则f(2007)=-1

9、/2007 例：f(2x-1)=4*X2-2x,求f(x) 析：设2x-1=u，则x=u+1 / 2，则f(u)=4* (u+1)/2)2-2*(u+1)/2 =u2+u 所以f(x)=x2+x 2.求极值 例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-x2+4*x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（） A 10B20C30D50 析：y=-(x-2)2+5，则y最大值为5。净利润为50万元。可以配方的。 例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-1/3x3+x2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万

10、元？（ ） A 5 B 50 C 60 D70 析：这道题要求导，公式忘光了， y=-1/3*3*x2+2*x+0=0，解得x=2，则代入y得5。求导公式好像是-1/3x3=3*(-1/3)*x2，常数为0。不能配方的，极值试求导，不会做只能放弃。 十二、比赛问题 1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？( ) 【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100-298(场)。 2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表

11、队参赛？( ) 【解析】根据公式，采用单循环赛的比赛场次参赛选手数（参赛选手数-1)/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。 3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？( ) 【解析】 根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4（4-1)26(场)，8组共48场；第二阶段中，有2816人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数-1，即15场。最后，总的比赛场次是481563(场)。 4. 某学校承

12、办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？( ) 【解析】 根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6（6-1)215(场)，2组共30场；第二阶段中，有236人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30636(场)。 又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息366

13、-15(天)，所以全部比赛完成共需18523(天)。 比赛赛制 在正规的大型赛事中，我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法，实际上这是两种不同的赛制，选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。 1. 循环赛：就是参加比赛的各队之间，轮流进行比赛，做到队队见面相遇，根据各队胜负的场次积分多少决定名次。 循环赛包括单循环和双循环。 单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。 单循环比赛场次计算的公式为： 由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛，实际上是一个组合题

14、目，就是C(参赛选手数，2)，即：单循环赛比赛场次数参赛选手数（参赛选手数-1 )/2 双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少，或者打算创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法。 双循环比赛场次计算的公式为：由于双循环赛是任意两队之间比赛两次，因此比赛总场数是单循环赛的2倍，即：双循环赛比赛场次数参赛选手数（参赛选手数-1 ) 2. 淘汰赛：就是所有参加比赛的队按照预先编排的比赛次序、号码位置，每两队之间进行一次第一轮比赛，胜队再进入下一轮比赛，负队便被淘汰，失去继续参加比赛的资格，能够参加到最后一场比赛的队，胜队

15、为冠军，负队为亚军。 淘汰赛常需要求决出冠(亚)军的场次，以及前三(四)名的场次。 决出冠(亚)军的比赛场次计算的公式为：由于最后一场比赛是决出冠(亚)军，若是n个人参赛，只要淘汰掉n-1个人，就可以了，所以比赛场次是n-1场，即：淘汰出冠(亚)军的比赛场次参赛选手数-1； 决出前三(四)名的比赛场次计算的公式为：决出冠亚军之后，还要在前四名剩余的两人中进行季军争夺赛，也就是需要比只决出冠(亚)军再多进行一场比赛，所以比赛场次是n场，即：淘汰出前三(四)名的比赛场次参赛选手数。 十三其它问题 1.工程问题中的木桶原理 例：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（ ）天？ A、4 B、 5 C、6 D、7 析：丙丁合做需要8天，则丙丁平均效率16天，这里最差的18天，则四人做最差也只要4.5天，则选4。 例：一项工作由编号为16的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来