导数问题中的双参数问题

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1、导数问题中的双参数问题导数问题中双参数证明问题例 1：设 0a 0)，常规方法证明：(1) 先证右边不等式，设?(x ) =lnx -lna -111a (x- a ) 2因为 ?(x)= - (+) = -故当 xa 时， ?(x )单调减少，又?(a ) =0，所以，当 xa 时， ?(x )从而当 ba0 时， lnx -lna a 0)1(x-a) 2因为 f (x) =2x(lnx-lna ) +(x +a )- 2a =2x(lnx-lna) +0， x x 22故当 xa 时， f (x )单调增加，有f (a ) =0，所以当 xa 时， f (x ) f(a) =0，即（ x

2、 2+a 2 ） (lnx -lna )- 2a (x -a ) 0.从而当 ba0 时，有 (a 2+b 2)(lnb -lna )- 2a(b-a ) 0,即综合 (1)(2)有 2a lnb -lna 1.上面的解法固然易想，但是计算量有点大容易出错，这个时候如果用构造函数法的话，就可以减少一定程度的计算量。我们注意到，函数中有两个参数 a,b ，但是我们所学的函数都是一个变量的，为了好设函数，我们希望有方法把函数变成一个变量。我们以左式为例。为了证明2a lnb -lnab b b b? 2(-1)b这个时候我们注意到不等式中剩下一个参数，所以很容易设函数a 2a(b-a )f (x

3、) =(1+x 2) ln x- 2(x- 1), (x 1) ,(因为 a0, (x 1)恒成立。此时f (x ) =2x ln x +x- 2, (x 1) f (x ) =2ln x- 1x 1+3, (x 1)， 2x注意到 f (x )是单调递增函数，所以f (x ) f (1) =20，即 f (x )单调递增 .又 f (x ) f (1) =0，所以 f (x )单调递增，即f (x ) f (1)=0，即 f (x ) =(1+x 2) ln x- 2(x- 1) 0, (x 1)，所以左式得证。同时，右式可化为 ln -1x b a b 1+1)，所以证明右式可化为证明g

4、(x )g (x ) =- 2x 1, (x 1) 2x 222(1- x ) +=1)，所以g (x )单调递减，即233x x xg (x )所以g (x )单调递减，即g (x )证。综上，有2a lnb -lna 1.通过上述两种方法比较，明显函数构造的方法的计算量更简单一些，更容易实施。例 2：设 e 4(b - a ) . e 2同样的这道这道证明题同样含有两个参数a,b，但是如果想套用例1们会发现：不等式左右的a,b的阶数 ( 次数 )不同 .所以例 1 的方法不可用含有 b 的式子移到一边，把含有a 的式子移到一边，的方法，但是我.如果我们把得到： ln 2b-f (x ) =ln 2x- 442b ln a- a , 22e e因此我们可以设函数4x , (e2ln x 42(1- ln x )此时f (x )=- 2, (e(x )所以 f (x )在其定义域上单调递减，即有f (x ) f (e 2) =0在其定义域上单调递增，因为e f (a )，即 ln 2b- ln 2a 4(b- a )，所以有 f，所以原命题得证. 2e