《三角恒等变换知识总结及基础训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角恒等变换知识总结及基础训练（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 三角恒等变形、三角恒等变形知识点总结1两角和与差的三角函数sin()sin coscossin ；cos()cos cossinsin ；tan()tan tan1mtan tan。2二倍角公式 sin2 2sin cos ；2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sintan22tan 。1 tan23三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式 的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量 使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式1 2 1 cos
2、2 2 1 cos2sin cos sin2 ； sin ； cos 。2 2 2（ 2）辅助角公式asinx bcosxa2 b2sin其中 sinba2 b2，cosaa2 b24三角函数的求值类型有三类（ 1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消 去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（ 2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于 “变角 ”， 如 （ ） ,2 （ ） （ ） 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范 围的讨论；（ 3）给值求角： 实质上转化为 “给值求值 ”问题
3、， 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的 单调性求得角。5三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一 等方法，使等式两端化 “异 ”为 “同”；（ 2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或 分析法进行证明。、典例解析题型 1】两角和与差的三角函数【例 1】已知 sin sin 1，cos cos 0 ，求 co（s）的值 。分析：因为（ ）既可看成是 与 的和，也可以 看作是的倍角， 因而可得到下面的两种解法。2解：由已知 sin +sin =1 ， cos +cos =0
4、 ，22得2+2cos（） 1 ； cos (）1。222得cos2+cos2 +2cos() =1，即 2cos(）co（s） 1= 1。 cos1。sin 、 cossin点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解cos ，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系 本题关键在于化和为积促转化，整体对应 ”巧应用。例 2】已知 tan ，tan 是方程x25x 6 0的两个实根，求 2sin23sincos2cos的值 。解法一：由韦达定理得 tan tan5，tantan6，所以 tantan tan1.1 tan t
5、an16原式 2sin23sin2sincos2cos2cos2tan23tantan211解法二：由韦达定理得 tantan5，tantan6 ，所以 tantan tan1tantan5161.于是有34 k Z ，原式 2sin2 k3sin 2k22 cos3。点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答 本题的知识 “最近发展区 ”。（ 2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等 抓住公式的结构特征对提高记忆公式 的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公
6、式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函 数式中所具有的相似性的结构特征， 联想到相应的公式， 从而找到解题的切入点。 （3）对公式的逆用公式， 变形式也要熟悉，如二倍角公式 例 3】化简：题型 2】12 12 21cos22，23 解：因为 322，所以 1 1cos222coscos ，又因341，所以 121cos2sin2sin ，2所以，原式 =sin 。2点评：（ 1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意 2， ，44三个角的内在联系的作用，cos2 sin222sin4cos 4是常用的三角变换。2）化
7、简题一定要找准解题的突破口或切入点， sin2 cos2sin其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。1 cos2 2 ， sin23）公式变形例 4】若17解：由12，cos2cos43，175 12得531 cos2。27 ,求sin2x 2cos2x的值 。1 tanx2，又因 cos43 ，sin5cosx coscoscos4sin x sin442，10 ，coscossinsincostan1tan tantantantantantantantan tantantantantan tantan从而 sin x72，tanx 7.1027222722原式
8、2sinxcosx 2sin 2 x101010281 tanx1775点评：此题若将 cos x43的左边展开成 cos cosx sin sinx5 4 4再求 sin x,cos x 的值，就很5繁琐，把x作为整体 ，并注意角的变换 2x442x，运用二倍角公式，问题就公难为易，化2繁为简 所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，般方法是拼角与拆角，如2，22，22等。题型 3】辅助角公式例 5】已知函数1 2 3y cos2xsinxcosx1， x R.221）当函数 y取得最大值时，求自变量 x 的集合；2）该函数的图象可由y sinx（
9、x R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到1）解： y2cos2x23sinxcosx122cos2x1)13442sinxcosx) 11 3 5 cos2xsin2x 44415 ( cos2xsin sin2x cos )2 6 6 41sin(2x ) 52 6 4y取得最大值必须且只需 2x6 22k，kZ，即x6k，kZ。所以当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为 x|x k，kZ。62）将函数 y sinx 依次进行如下变换：把函数 y sinx 的图象向左平移，得到函数 ysin（x ）的图象；6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的1倍2纵坐标不变），得到函数y sin
10、（ 2x ）的图象；6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的1倍2横坐标不变），得到函数1y 21 sin（2x 6 ）的图象；5把得到的图象向上平移 个单位长度，4得到函数1y sin( 2x25） 的图象；6413综上得到函数 y cos2xsinxcosx 1 的图象。2点评：引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式 asin22bcos a b sin其中 tan b ，或 asinabcos a2 b2 cos，其中 tana 在历年高考中使用频率是相b当高的，应加以关注。 【题型 4】三角函数式化简例 6】已知函数f (x)1 2 sin（2 x ）4 （ 的第四象限的角）cosxtan
11、443，求 f （ ）的值。解：因为 tan4 ，且 是第四象限的角 , 所以 sin34,cos53,5,故 f (x)2sin(2 ) 1 2( 2 sin2 2 cos2cossin2 cos2coscos22cos 2sin cos 14 2(cos sin ) 。cos5题型 5】三角函数的值及周期例 7】设函数 f(x) 3cos2 x sin xcosx a (其中 0,a R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 。6 ()求 的值；)如果 f (x) 在区间5 上的最小值为63 ，求 a 的值。解：(I) f (x)3cos221sin22x3x2a si
12、n(2 x3) 23 a32依题意得32II)由(I)知，f(x)sin(x又当x,536 时，70, 76 ，故sin(x )31，从而 f (x) 在区间 5， 上的36最小值为 3a，故a题型 6】三角函数综合问题8】已知向量a (sin ,1),b(1,cos ),I)若ab,求II)求b 的最大值。解：1)a b,rvagb 0sin cos 04；(2). a b(sin1,cos 1)sin1)2 (cos 1)2sin222sin 1 cos 2cos 12(sin cos ) 32 2sin( ) 34当 sin() =1 时 a b 有最大值 , 此时4 ，最大值为 2 2 3 2 1。、基础训练、选择题：1已知 sin22 ,则 cos2()=1112ABCD63232. 函数 f(x)sin xcosxcos2x 的最小正周期和振幅分别是A ,1B ,2C 2,1D2 ,23设 sin(+)=1，则 sin2()437117
