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1、（人教版）精品数学教学资料1.2应用举例新课讲授1.建模思想 解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边角的大小，从而得出实际问题的解。这种数学建模思想，从欧冠实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图表示为：实际问题还原说明抽象概括实际问题的解数学模型的解数学模型推理运算得到解决正弦定理余弦定理三角形几何知识解三角形图1.2-4实际问题解三角形画图实际问题的解数学问题的解数学问题检验2.解三角形应用问题的基本思路3.解三角形应用问题的一般步骤：
2、准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；根据题意画出图形；将已知条件在图中注明；将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答。其中第步是最关键的环节。4.常见的应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。(5)熟悉的三角形中的有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：（为三角形的周长）（表示边上的高）
3、（可用正弦定理推得）（为内切圆半径）还须熟悉两角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。典例分析【例1】 在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的A、B两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的C岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解C岛与B岛或A岛的距离.为此他们测得从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛之间的距离是多少海里？分析：本题是大家实际生活中可能就碰到过的事情，题目背景很熟悉，根据题意不难将题意中所述的数据反映在图形上，由题意的叙述容易画出相应的图形，结合图形分析不难得到结果。解：在中，由题意知，。由正弦定理=，。规律
4、总结：本题中涉及到“视角”这样一个名词，这个名词的意思对于大家来说并不陌生，根据题意的叙述正确画出示意图来，然后在相应三角形的应用正弦定理就可以达到目的，真正把数学融入实际生活。【例2】如图1-2-1所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在东偏南的方向上，仰角为，求此山的高度CD。来源:图1-2-1分析：本题是一个实际应用问题，主要问题可能会出现在题目中所述的角度不能正确的分辨上，从而导致出错。只要能正确根据题意的叙述，将问题转化为一个数学问题，从而容易将问题解决。解：要测出高CD，只要测出高所在的直角三
5、角形的另一条直角边或斜边的长即可。根据已知条件，可以计算出BC的长。在ABC中，A=15，C=2515=10，根据正弦定理，=，BC=7.4524（km），CD=BCtanDBCBCtan81047（m）.答：山的高度约为1047米.规律总结：此类问题主要容易错在角度的具体位置找不对，另外在具体问题中有时可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中应用相应定理去解决问题，这些都要根据具体题目的已知条件去作具体分析。【例3】例2如图1-3-6，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时最快
6、追上乙船？（精确到度）图1-3-6分析:假设用t小时在C处追上乙船，则在ABC中，AC、BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可.解：假设用t小时，甲船在C处追上乙船，在ABC中，AC=28t,BC=20t,ABC=180-45-15=120.由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,来源:即(28t)2=81+(20t)2-2920t(-).整理，得128t2-60t-27=0,即(4t-3)(32t+9)=0.t=,t=(舍去).AC=28=21,BC=20=15.由正弦定理，得sinBAC=.又ABC=120,BAC为锐角,BAC=38.45-38=7
7、.甲船应沿南偏东7方向用小时最快追上乙船.规律总结：航海问题常利用解三角形的知识去解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正弦、余弦定理求解.【例4】在中,若，判断此三角形的形状。分析：本题所给给已知条件中涉及边角关系，问题是要判断其形状，自然可以试着将边转化为角或考虑将角转化为边，而在转化过程中不难想到用正、余弦定理去试着进行，这样的问题往往是比较灵活的，方法多样。解：方法1：化角为边由已知可得，即：，由正、余弦定理得：，即：，或；方法2：化边为角，由已知变形得 ，即，即：，又均为不，或即或。因此该三角形是等腰三角形或直角三角形。规律总结：此类型的问题
8、比较常见，思考方式通常就是两个方向，一是从角的角度去判断；二是从边的角度去判断。有时，两种方法都能达到目的，而有时则只能采用某种办法才能达到目的或者用另外的办法很复杂。在具体问题中注意选择恰当的方式。课堂小结来源:当堂检测1.如下图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据图1-2-3A D 2已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为A D 3在的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为，则塔高为( )A D 4为了测量河的宽度，在一岸边选定两点,望对岸的标记物，测得,，米，求河的宽度。5在
9、中，已知，且其最大内角为，则其最大边长为 。 6在中，若，则 。7已知关于的方程的两根之和等于其两根之积的一半，试判断的形状。当堂检测参考答案1分析：根据实际情况、都是不易测量的数据，而C中的a、b、很容易测量到，并且根据余弦定理能直接求出的长。答案：选。2分析：题意如下图所示，可知ACB=120，AC=BC=a.在ABC中，过点C作CDAB，则AB=2AD=2acos30=a.故选。图1-2-4答案：选。3分析：如图，设塔高为，图1-2-5在RtCDB中，CD200，BCD90-6030，在中， ，.。答案:选A。4分析：由题意画出示意图，这样一来就把问题转化为求的边上的高的问题。而由已知及
10、正弦定理知，可先求出，进而求得河宽。解：如图，在中，由已知可得图1-2-6设到的距离为，则，河的宽度为米。5分析：由题意所给三边间的关系，先注意判断其最大边，从而利用余弦定理把问题解决。由已知得，故为最长边，。答案：。 6分析：本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理中所涉及的是些边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为：，所以，。答案：。7分析：本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定的形状。解：依题意得 ，又，故是等三角形。课后作业习题1.2 A组1，6，板书设计新课讲授1. 例1 例3 小结2.3. 例2 例44.来源:数理化网来源:教后反思
