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1、题目1证明题 容易证明 j x(x - t) f(t)dt = f (x) 一 f (a)。 dx a题目2证明题容易耳利用积分中值定理证明：limj 4 sinn xdx = 0。nT0 0题目3证明题一般设函数/* (x)在a,。内可导，且/* (a) = 0,jb f (x )dx = 0a证明：在a,b内至少存在一点&使f (& ) = 0。题目4证明题一般设f (x) = f (x + a)，证明：辱为正整数时jnaf (x)dx = njaf (x)dx。00题目5证明题 一般证明J1 Xm (1 - x) ndx = J1 Xn (1 一 X)mdx题目6证明题 一般设f (x)
2、在,国上有定义，且对,力上任意两点x, y, 有1 f (x) 一 f (y)| |x -y|.则f (x)在a,b上可积,且1jb f (x)dx - (b - a) f (a) (b - a)2。a2题目7证明题一般设f (x)在a,b上的连续，在(a,b)内可导,且f (a) = f (b) = 0.证明：4jb |f (x)x M(b - a)2,其中M = sup |尸(x)|。aaxb题目8证明题一般设f (x)在a,b上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点& , 使 L f (x) dx =b f (x) dx =上bf (x) dx 。a&2 a题目9证明题一般2 SiR
3、n xdx o0证明:02 sinn+i xdx 0一般dx 兀= o6题目10证明题求证：1 0)。02 0题目13证明题 一般设函数 (x)和g (x)在a, 3上连续 证明：f3f(x)g(x)dx2 3 f 2(x)dx-3g2(x)dx。题目14证明题一般设f (x)在0,1上连续，=j 4 f (sin 2甲)(cos甲 + sin甲)dp 。0证明：j 2 f (sin 2甲)cos甲d甲题目15证明题 一般设/(x)在i,。上可导,且f (x) M, f (a) = 0, 证明:jb f (x)dx 0)上连续，证明 J & f (x)dx = J f (x)+f (2a 一
4、x)dx。00题目17证明题一般 设*为正整数，证明: J 兀 cos 2 kxdx =兀； (2) J sin 2kxdx =兀。一兀题目18证明题 一般设f (x)在0,1上有一阶连续导数.且/- f (0) = 1.试证：J 1 f f(x)2dx 1。0题目19证明题 一般若农为正整数，证明 J 2 cosm x - sinm xdx = J 2 cosm xdx。02m 0题目20证明题 一般若函数 (x)在区间。,b上连续，贝 M bf (x)dx = (b 一 a) J bf a + (b 一 a)xdx。aa题目21证明题 一般设函数f (x)在0,1上连续，证明J2 f(|c
5、osx|)dx = 4J2” f(|cosx|)dx。题目22证明题 一般若函数(x)在R连续，且f (x) = f xf (t)dt,贝f (x)三 0。a题目23证明题一般设f (x)是以兀为周期的连续函数，证明 J2兀(sinx + x)f (x)dx = f(2x+兀)f (x)dx。 0o题目24证明题一般设f (x)在0,1上连续且单调递减，试证明:对于任何q e 0,1,都有不等式f qf (x)dx q J1 f (x)故成立。oo题目25证明题一般设f (x)在a,b上单调增加且(x)0.证明:(b - a) f (a) jb f (x)dx (b - a) f (a) +
6、f ()a题目26证明题一般设函数/在a,上连续且单调递增。一、1八F (x) =j f (t)dt, (a x b)x - a aF (a) = f (a),证明：F(x)在a,b上单调增.。题目27证明题 一般设f (x)在a,b上二阶可导田(x) 0,证明：jb f (x)dx (b 一a)f ( *”)。a2题目28证明题一般设f (x)在a,b上连续，在a,b可导，且/(x) 0,证明函数F (x) = j xlLdt a X a在(a,b)内满足F(x) 0同时至少存在一点&e a,b,使f& ) 0,贝竹bf (x)dx 0。a题目30证明题一般试证bf D故小f (x)dx。a
7、cb题目31证明题 一般设函绑3)在0,1上可微，且满足等式：f (1) - 2! 2 xf (x)dx = 00试证在(0,1)内至少存在一点&，使f(&)=-华。g题目32证明题 一般设f (x)在。,5上连续，并且对于每一个在。,b上的连续函数g (x).都有!bg (x) f (x)dx = 0a证明：f (x) = 0 (a x b)。题目33证明题难设函数f (X)在, b上有连续导数f(x，且f (a) = 0,贝 Ij bf (x) f(x)| dx a j b f (x) 2 dx。a2 a题目34证明题难设f (x)在a,b上二阶连续可微，其中a 0 b,则在该区间上必 存
8、在一个&，使1 一 .一 .j f (x)dx = bf (b) - af (a) - 2 b2 f (b) - a 2 f (a)+ (b3 a3)f(& )。 3!0题目35证明题 难若f (工)关于工=T对称，且a T 0,又F(x) = xf (t) dt + Jai证明：F(x) = 0在a,b内有且仅有一个实根。题目39证明题难证明:当a 1时,有 af 3 2 + 竺)1 dx = J a f (x + 竺)L dx。1X 2 X 1X X题目40证明题 难若函数f (x)在0, +8 连续，且 lim f (x) = A ,X +8贝J： lim 1 jx f (t)dt = A。X +8 X 0题目41证明题 难证明:若jbf 2(x)dx = 0贝f (x) = 0x e a,boa题目42证明题难设函数f (x)在a,b上连续，证明：lim1 jx f (t + h) - f (t)dt = f (x) - f (a) (a x f - f a u (t )dt (a0)。a 0a 0题目44证明题 难证明：若函数3)在0,+8) 一致连续，且无穷积分 +(x)dX收敛，him f (x) = 0。0XT+3
