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1、摘要插值法和曲线拟合是两种来源于实际，同时又广泛应用于实际的重要的数值 计算方法。随着计算机技术的不断发展以及人类计算机水平的逐步提高，他们在 国民经济和科学研究中占据了越来越重要的地位。插值法与曲线拟合结合计算机 技术例如MATLAB等编译工具可以用来解决许多实际问题，可以做到高效快捷准 确的计算出想要的结果。本文从MATLAB的功能特点出发，研究了数值计算方法 中的插值法和曲线拟合两类问题，比较了这两类问题的特点和不同之处，通过多 组实验来进行进一步的研究，即使用MATLAB实现通过拉格朗日插值法和曲线拟 合解决实际问题。本文中实现了通过拉格朗日插值法解决三个实际问题，包括了 二氧化硫与传
2、感器电压问题，最近十年 93#汽油价格变化问题以及中石油股票月 K 线并作图分析。同时还实现了通过多项式曲线拟合解决两个实际问题， 即根据研 究氮肥（N）的施肥量与土豆产量的影响所得数据曲线拟合出相关函数关系和铁在 冶炼过程中含碳量与时间的关系分析并做图研究得到相应的结论。关键词：插值法 曲线拟合 MATLAB 数值计算ABSTRACTInterpolation and curve fitting are two methods come from actual , while widely used in actual important numerical . With the conti
3、nuous development of computer technology and the gradual improvement of human computer skills , they occupy an increasingly important position in the national economy and scientific research . Interpolation and curve-fitting combining with computer technology and any other building tools such as MAT
4、LAB can be used to solve many practical problems by which can be solved quickly and efficiently accurately calculate the desired results. In this paper, starting from the function features of MATLAB to study the numerical method of interpolation and curve-fitting problems , comparing the characteris
5、tics of these two types of problems and differences , to carry out further research by two experiments that use MATLAB implementation to solve practical problems by Lagrange interpolation method to achieve a number of practical problems solved by Lagrange interpolation method , including sulfur diox
6、ide and sensor voltage problem , the last decade of 93 # gasoline prices and oil stocks change on K line soldiers plot analysis .It also achieved by polynomial curve fitting solve two practical problems , according to a study of nitrogen (N) fertilization resulting impact on the amount of data and t
7、he potato yield curve fitting and the correlation function of the carbon content of iron in the smelting process and time relationship analysis and make the corresponding figure study conclusions .Keywords: Interpolation Curve-Fitting MATLAB Numerical calculation目录第一章 绪论 11.1插值法概述 11.1.1插值法的背景 11.1.
8、2插值法的思想 21.2.曲线拟合概述 31.2.1曲线拟合的背景 31.2.2曲线拟合的思想 31.3本文研究内容 4第二章 插值法基本理论 52.1插值法基本定义 52.1.1唯一定理 52.1.2几何意义 52.2 拉格朗日（Lagrange） 插值 62.3 牛顿（New ton） 插值 72.4样条函数插值方法82.4.1二次样条函数插值102.4.2三次样条函数插值112.5高次插值的龙格现象132.6插值法小结14第三章 曲线拟合基本理论 153.1最小二乘拟合法153.2最小二乘拟合函数的求解16第四章 基于MATLAB的插值法仿真研究 174.1算法及流程图174.2代码解析
9、174.3插值法应用194.3.1二氧化硫浓度与电压194.3.2 93#汽油价格计算 214.3.3中国石油股票月K线分析234.4插值法应用小结24第五章 基于MATLAB的曲线拟合仿真研究255.1基于MATLAB实现曲线拟合255.2曲线拟合应用255.2.1氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系分析255.2.2铁的冶炼过程中含碳量和时间关系分析275.3曲线拟合应用小结29第六章 总结 316.1插值法与曲线拟合比较316.2全文总结31致谢 错误!未定义书签。参考文献 35第一章 绪论在工程实践和科学实验中，经常会遇到计算函数问题，就是数值方法本身而 言有很多问题最后也都是转化成了函数
10、数值的计算。然而，有时候遇到非常复杂 的函数关系，甚至没有明确的表达式或者有表达式但却无法知道。插值与拟合往 往就是解决这些问题的方法。例如一些问题需要建立函数关系，即y=f(x)。虽然从 原则上说，它在某个区间a,b上是存在的，但通常只能观测到它的部分信息，即只 能获取a,b上一系列离散点上的值，这些值构成了观测数据。这就是说，我们只知 道的一张关于x与f(x)的观测数据表，如下：表1.1关于X与f(x)的观测数据表xix1x2xnf(xi)f(x1)f(x2)f(xn)然而，当不知道函数在其他点x上的取值时，只能用一个经验函数y=g(x)对 真实函数y=f(x)作近似。下面本文将引入两种两
11、种常用办法来确定经验函数 y=g(x)，它们分别是插值法与曲线拟合法。1.1 插值法概述1.1.1 插值法的背景插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广 泛应用了二次插值.二次插值法的创立, 是隋唐数学的一项重大成绩。插值法是根 据两个自变量的已知函数值的近似计算方法。这种方法是很有使用价值的。例如, 在天文观测中, 人们不可能每时每刻都进行观测 , 因此只能得到日月五星某些时 刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置, 就要用到 插值法, 这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在周髀 和九章中就已有了一次插值公式。东汉末天文学家
12、刘洪制定乾象历, 为计 算月球在近地点后( n+s) 日的共行度数, 采用了一次插值公式1:f(n+s)=f(n)+sA ,0vsv1, =f(n+1)- f(n)其中n为月球在近地点后运行的整日数, f( n) 为对应的月球位置函数。此后, 曹魏杨伪、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖 冲之等各家历法计算月行数时也采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度 的提高 , 天文学家不仅发现了月球运动的不均匀性 , 而且也发现了太阳和五星视 运动的不均匀性, 也就是说, 日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制 更好的历法, 特别是为了精确计算合朔 （ 太阳与月亮同时出现） 和日食时刻, 何承 天
13、、祖冲之以前所长期采用的一次插值法 , 误差太大, 已经不能满足这种要求, 于 是中国天算家开始了新的探索。然而插值理论却是在 17世纪微积分产生后才逐步 发展起来，Newton插值公式理论是当时的重要成果。由于计算机的使用以及航 空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了 广泛的应用。在计算机广泛使用的今天，插值法跟MATLAB等软件的程序结合起 来, 发挥其更广泛的作用, 以至可以解决高达几百次甚至上千的插值拟和（ 如果计 算机允许的话） 。为此， 大量的数学家和软件编辑者投入到数值分析和数学软件的 工作中， 使得插值法得到了空前的发展 ， 现在的 Lagran
14、ge 插值， 逐次线性插值 ， Newton 插值， Hermite 插值，分段低次插值， 还有三次样条插值等等， 就不胜枚举。1.1.2 插值法的思想已知如下一个关于xi与f（xi）的观测数据表表 1.2 插值法思想观测数据表xix1x2xnf(xi)f(x1)f(x2)f(xn)求一个经验函数y=g(x),使g(x ) = f (x ), i = 1,n式（1-1）. ii插值的任务就是由已知的观测点（xi,y i）为物理量（未知量），建立一个简单的、连 续的解析模型g（x），以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性2。1x X1 x2x x图 1.1 插值法思想1.2.曲线拟合概述
15、1.2.1曲线拟合的背景实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系； 疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟 合(curve fitting)是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程 分析两变量间的关系。1.2.2曲线拟合的思想曲线拟合的基本思想是根据已知数据表，如下表：表 1.3 曲线拟合数据观测表xix1x2xnf(xi)f(x1)f(x2)f(xn)求一个经验函数y=g(x),使得n2丫 (g (x ) - f (x )= miniii = 1式(1-2)所求的的函数g(x)的拟合函数。而每个数据点分布在拟合曲线的两侧，拟合曲线不需要经过数据点。如下图：如 心心Y图1.2曲线拟合思想1.3本文研究内容本文题目是基于MATLAB的插值法与曲线拟合的数值计算方法研究。各章节 内容分别下：第一章，绪论，即研究学习了解插值法与曲线拟合相关研究背景以及数学思想。 第二章，插值法基本理论，即深入的学习研究了插值法，包括拉格朗日插值，牛 顿差值，样条插值等多种插值方法。第三章，
