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1、线性代数考试试题第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1 .设行列式=m,=n,则行列式”a21a12 +a13a22 +a23等于（A. m+nC. n-mJ2.设矩阵人=00、0 ,则A-】等于（3;30 oo 1-200 1-2 oo 01-2D.1-20 o-303 -I3.设矩阵A= I 0A. -6C.2B.6D.-24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（）A. A=0B.BwC 时 A=0C. A/0 时 B=C5.已知3X4矩阵
2、A的行向量组线性无关,A. 1D.|A|。时 B=C则秩（AD等于（）B. 2C.36.设两个向量组a 1，a 2,，a.和Bi，D.482,，Bs均线性相关，则（A.有不全为0的数人I，入2，入s使人a + X2a 人a s=0和人i B i+人2。+人sB、=0B. 有不全为（）的数Xi，入2，,C. 有不全为0的数山，D. 有不全为0的数入1，入2，,*s 彳吏入 1(ai+B) +人2 (a ?+0 2)+,+ 入 s( a s+ B $) =0 使入 i ( a j 3 i) + 2 (a 2-P2)+ X s( a s- B s) =04和不全为0的数口 1，U2,，Us使A |Q
3、 l+x2a2+入 s a s=0 和 u | B |+ u 2 B 2+ U s B s=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于0B.所有r-1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，IU，是其任意2个解，则下列结论错误的是（B. -(m+n) D. m-nA. 1)1+112 是 Ax=o 的一个解C. H1-1I2是 Ax=0 的一个解9. 设n阶方阵A不可逆，则必有(A. 秩(A)nC. A=()B。是 Ax=b 的一个解22D.2ni-n2 是 Ax=b 的一个解)B.秩(A)=n-1D.方程组Ax
4、=0只有零解B.34时10)A.C.23 q0、0二、填空题 小题的空格内。错填或不填均无分。I I 13 5 6 =.9 25 3615.2 3-2 4.Aij表示|A|中元素a。的代数余子式(i,j=l,2,3 )，则16. 设 A=e t 1U 1 -1.17. 设 A=(aij)3(an A21+ai 2 A22+ai 3 A23)?+(a21 A2i+a22A22+a2jA23)2+(a31A21 +232 A22+&33 A23).x 3， |A|=2 ,测 A+2B=10. 设A是一个n(N3)阶方阵，下列陈述中正确的是()A. 如存在数入和向量a使Aa = .X a ,贝ij
5、a是A的属于特征值X的特征向量B. 如存在数人和非零向量a,使(XE-A)a=0,则人是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如*i，X 2，人3是A的3个互不相同的特征值，a 1 a 2，13依次是A的属J i， *2， 人3的特征向量，则a” a2, a 3有可能线性相关11. 设人o是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于人的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. kW3B. k312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误的是()A.|A|2 必为 1B.|A| 必为1C.A-=ATD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=
6、CTAC.则()A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为(第二部分 非选择题(共72分)(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每18. 设向量(2,-3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，则a=.19. 设A是3X4矩阵，其秩为3,若L，尺2为非齐次线性方程组入乂力的2个不同的解，则它的通解为.20. 设A是mXn矩阵，A的秩为r(vn),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21. 设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+6与aB的内积(a+B, a_B ) =.
7、22设3阶矩阵A的行列式|A|=8,己知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为,023.设矩阵A= 1-210 6-3 -32、己知a= -1是它的一个特征向量,则a所对应的特征值为.24. 设实二次型f（X|,X2,X3,X4,X5）的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）I 225.设 A= 3 4-1 226.试计算行列式0、03-523 -I4 0.求(1) ABt； (2) |4A|.110-5-1313试判断a 4是否为a” a 2,29.设矩阵A=-22若是，则求出组合系数。求：（1 ）秩（A）；（2） A的列向量组的一个最大线性
8、无关组。0 -2 2、30.设矩阵A= -2 -3 4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使I AT=D、24 -331 .试用配方法化下列二次型为标准形7 D rf（Xi,X2,X3）= xp +2x3x4XX2-4XX3-4x2X3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共1（）分）32. 设方阵A满足AM,试证明E-A可逆，且（E-A） -=E+A+A2.33. 设no是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，& 2是其导出组Ax=0的一个基础解系. 试证明（1）n i= n o+ , n 2= n（）+ 2 均是 Ax=b 的解；（2）Ho,
9、L, n 2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）2.B3.B4.D5.C7.C8.A9.AIO.B12.B13.D14.C（本大题共10空，每空2分，共20分）;）I. D6.DII. A 二、15.616.填空题17.418.-1019. ni+c(n2-ni)(或n2+c(n2-ni), c 为任意常数20. n-r21. -522. -223. 123Z +22Z +2 Z24每小题6分，共42分）-2、40三、计算题(本大题共7小题, 2 0V225. 解(1) ABT= 3 4 0 3 、-1 2 1JI-16)=18 10 .3 ioj(2) |
10、4A|=43|A|=64|A|,而1 2 0|A|= 3 4 0 =-2.-1 2 1所以|4A|=64 (-2) =-12826.解1-105-11-527.解5=-6-52 0-5 02-5= 30+10 = 40.AB=A+2B 即(A-2E)B=A,而(A-2E) -=，1-4-3Y 423、所以 B=(A-2E)-!A= 1-5-3 110-164 人-123,3-8-6、=2-9-6 .-2130、（0-531-30-11-30-1匕。.用千022401234-19013-112)(035 :1035）01120112r00880011 0 0 110 0 0所以a 4=2 a !
11、+a 2+a 3,组合系数为(2, 1, 1).解二 考虑 a 4=xi a +X2 a 2+X3 a 3，-2x| + X2 +3x3 = 0即 k-3x2=-l2x2 +2x3 = 43x( +4x2 一X3 = 9.方程组有唯一解(2, I, 1) T,组合系数为(2, 1, 1).29. 解 对矩阵A施行初等行变换1-2-1020006-20328-20963-Vfl-2-102、-2-102)0328-30328-30006-20003-1If00-217,()000oj（1）秩（B） =3,所以秩（A）=秩（B） =3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是 B的列向景组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一 个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30. 解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为& .= （2, -1, 0） L 42=（2, 0, 1） L2妁15、经正交标准化，得I1L-4515，。2=45/15、03 ,=-8的一个特征向量为1、1/3、3=2,经单位化得n 3=2/3-2/X1/32/3-2/3Z25/5 2V15/15所求正交矩阵为T= -75/5 45/15、00300、D=010对角矩阵
