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1、精品文档数值微分及应用研究第一章数值微分的描述一、数值微分描述数值微分(numericaldifferentiation)是根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数(如多项式或样条函数等)的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。止匕外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上
2、的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。二、数值微分的相关概念根据函数在一些离散点上的函数值来估计函数在某点导数或高阶导数的近似值的方法，称为数值微分。多项式插值是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取金为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。三次样条函
3、数定义：函数S(x)wc2a,b,且在每个小区间%,毛书上是三次多项式，其中a=x0x1丁0,故而外推次数不宜过多，否则会引起计算的不稳定性。2 .最好的方法是还是中点方法。第三章算法的应用一、数值微分方法怎么用？(程序设计)？1 .一般程序设计mathematic2 .举例验证3计算f(x)=ex在x=0.5点的前10阶导数的值，把结果以表格的形式列出fx_:=ExpxA3;dtable=Tablen,Dfx,x,n/.x-0.5,n,1,10;TableFormdtable,TableAlignments-Center,TableDirections-Row运行结果：n12345fn(0.
4、5)0.84994.036814.925762.8233371.552n678910fn(0.5)2116.5613929.51017107661716329570二、数值微分方法用哪好？1 .数值微分三点公式方法在给排水专业的应用拉格朗日法研究流体的运动中，通过照相机拍摄同一标记物在不同时刻的位置，由不同时刻的位置研究质点速度的问题。2 .数值微分方法在你了解的其他领域的应用电路震荡、化学反应及生物群体的变化等。第四章算法展望数值微分就是用离散的方法近似地求出函数在某点的导数值，关于数值微分已经有许多求解方法，但这些方法都有各自的局限性，并且关于高阶导数的近似逼近的方法的研究相对较少。近几年
5、数学家有提出了两种求解高阶数值微分的新方法，并给出了高阶导数近似逼近的误差估计。方法一是利用Tikhonov正则化方法，通过构造一个五次样条函数研究了不等距分布下的高阶数值微分问题。由于在讨论中的采样取值是随机的，使得该方法具有较大的实用性。方法二是在等距分布的条件下，基于三次样条差值函数的三弯矩算法，通过利用节点处弯矩的加权和近似计算区间中点处的二阶导数。该方法简单易懂，并且具有比用三次样条差信函数求二阶数值微分更高阶的计算精度。基于数值微分计算方法在各个领域的重要作用，在众多学者的努力下，更为完善的方法必将继续出现，更为简单精确的解决数值微分的方法的出现及应用必将指日可待。第五章学习思考一
6、、数值微分相关的问题（我的思考）通过对本节的学习，可否自己出题，并用多种方法求解？二、我的课题作业1、地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是2 c 20 J-(a) sin2ud，这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记h为近地点距离,H为远地点距离，R=6371(kmj)为地球半径，则a=(2RHh)/2,c=(H-h)/2.我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(km)。试求卫星轨道的周长。解：；R=6371,h=439,H=2384从而有a=(2RHh)/2=7782.5c=(H-h)/2=972.5S=4a02J1-(-)2sin29d9k丁(k)
