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1、、裂项求和法数列专题3通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1,an是d 0的等差an ? an 1裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.数列。n(n1) n n1n(n1)( n 2)11a、b a b1 11(.a 、b)常用裂项形式有:12n(n 1)；(n 1)(n 2)2(2n)(2n1)(2 n 1),、n k &n）特别地：f 厂、n k . n k、n 1、n二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1. 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形
2、式有如下nnnai k （k为常数）.aif（n）;ai f（n）.i 1i 1i 1放缩目标模型T可求和（积）T等差模型、等比模型、裂项相消模型2. 几种常见的放缩方法naii 14种:k （ k为常数）（1）添加或舍去一些项，如:1) n（2）将分子或分母放大（或缩小） n 丄n 丄n 1或二 n 11 1 .2平方型:1n(n 1)1_n21121n 21 312n(n 1)( n131n 3112(2n 1)13n立方型:指数型:44n214n2 4n1n(n21_T71(程度大)n 11n(n 1)11 2 n1 2(丄2n丄2n1n11(-4n(n 1)41亠1) n n_44n2
3、1)n 11112n2 (n 1)n1an 1(a1b)(a1)(nn 11n 1丄2n1- n - n1I 2n 1)； 七1)1(n 2)n(n 1)2）（程度小）n12nn1 1 nn2nn1121)；n 1 / I a (a b)但 b 1)1利用基本不等式， n(n 1) n (n ,如：log 3 Ig 5(Ig3 Ig5)22Ig . 15 Ig .16 Ig 4放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列例如:(1)求证:1(nN ).(2)求证：二2122 12厂 1(n N).(3)求证：丄-2 1222 2n27-2(n N ) n总结:放缩法证明与数列求和有关的不等式,nai
4、可直接求和,i 1就先求和再放缩;若不能直接求和的,一般要先将通项an放缩后再求和bn才行呢？其实，.实际问题中，bn大多是等比模能求和的常见数列模问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等 型或裂项相消模型(1 )先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn = a“+12 4n 1 , n N*，且a2, a5, a14构 成等比数列.(1) 证明：a2, 4a1 5 ;(2) 求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n有1a?a31111anan 1(2)例如:先放缩再求和求证：1
5、122132n22(n例如:函数f(x)4x14x，求证:f(1)f(2)f (n)1 1 *n 盯 1(n N).例2.设数列an的前n项和为Sn，满足2S二刁n 一 2忖+1, 口 N*，且ai , a2+5 , a3成等差数列. _ nrl(1 )求ai的值；(2)求数列an的通项公式;(3)证明：对一切正整数总结：一般地，形如an a丄kaniibn或an an b (这里a b i)的数列，在证明(k为常数)时都可以提取出 练习：i设数列an满足an 0,an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型ai1，an(1 2n)a“an i an i(n 2)，数列an的前 n 项和为 Sn
6、.(i)求数列an的通项公式；(2 )求证：当n 2时，n iSn6n(3)试探究：当n 2时，是否有(n i)(2 n i)5Sn?说明理由3(3)形如 a f (n)i 1例如：设SnJ 22 3n（n 1）,求证：咛Sn根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系:注：应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式aba2 b22-，若放缩成2.n(n 1)n 1，则得Snki1(n 1)( n 3) (n 1)2，就放过“度”了。总结：形如aii 1f（n）的数列不等式证明:设Sn和Tn分别为数列an和g的前n项和，若anbn（n），利用不等式的“同向可加性”这
7、一基本性质，则有 Sn Tn.要证明不等式a f（n），如果记i 1f（n）看作是数列g的前n项和，则bn Tn Tn1（n 2），b1 T1，那么只要证其通项满足 anbn即可.（二）放缩目标模型一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的bn是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是 bnCn 1 （分式型），累乘后约简为biCn 1CnC1姐妹不等式： -（ba a ma0, m 0)和b ja ba a m0, m 0)记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。1 35例如：求证：一2 462n 12n2n 1(n N
8、 ).1 1 1 例如：求证：(11)(1)(1)(1).2n 1。352n 1n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列a.和6的前n项积，若i 1n0 an bn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有An要证明不等式aif(n)，i 1Bn如果记Bn f(n)看作是数列bn的前n项积，则g -(n 2)，b, B1，那么只要证其通项满足Bn 10 an bn即可.2 an例3.已知数列an满足a1，an 13 2an(1)求证：是等差数列，并求出an 1an的通项an?an(2)证明：对于 n N , a1 ? a2 ? a3 ?(二)添加或舍去一些正项(
9、或负项)若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证*N ).明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。n*n 1 ai a2例如：已知an 21(n N )，求证：-223 a 2 a 3a i 2例4.已知数列an的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn (冷)(I) 求an与an ,n 2)之间的关系式，并求an的通项公式；111(II) 求证2.S1S2Sn例5.已知数列 M.满足:际二*卉丘恥，记屯二亠千(I) 求证：数列 是等比数列；(II) 若GhWl对任意恒成立，求t的取值范围
10、；(III) 证明：的+5+宀州加寸了 .（三）固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列an的前n项和为Sn已知ai = 1 ,2Sn1 23n 1nn - , n N*n33（1 ）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；1 1（3）证明：对一切正整数 n,有173132an 4练习:2.设 S 11 ，则s的整数部分是（）4100A.17B.18C.193已知an是各项都为正数的数列,D.20Sn为其前n项和，且a11， Sn1(an（I）求数列an的通项an ；(II)求证:12S113S21(n 1)Sn2(1Sn).数列专题3、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重
11、新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如:数列。n(n1) n n1n(n1)( n 2)11a、b a b1 11常用裂项形式有:1(2n)2an ? an 1an是d 0的等差2n(n 1) (n 1)(n2)(-a 、b)；(2n1)(2 n 1)、一 n k &n）特别地： 、n k . n k、n 1、n二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1. 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下nnn ai k （k为常数）.ai f（n）;aif（n）.i 1i 1i 1放缩目标模型T可求和（积）T等差模型、等
