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1、第7讲 双曲线1(2016石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为1，故选A.2(2015高考福建卷)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3解析：选B.由题意知a3，b4，所以c5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6.所以|PF2|9.3(2016惠州调研)若双曲线1的离心率为，则其渐近线的斜率为()A2 BC D解析：选B
2、.因为双曲线1的离心率为，所以e，解得，所以其渐近线的斜率为.故选B.4 (2015高考湖南卷)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e.5(2015高考四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2C6 D4解析：选D.由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.6(2016太原模拟)已知F1，F2分别是双
3、曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且()0(O为坐标原点)，若|F1P|F2P|，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选A.设线段PF1的中点为D，则()(2)0，所以，又因为点O为线段F1F2的中点，所以ODPF2，所以F1PPF2，所以|F1P|2|PF2|24c2，又因为点P在双曲线的右支上，所以|F1P|PF2|2a，又因为|F1P|PF2|，联立得e2，所以e，故选A.7已知双曲线1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_解析：依题意知()29a，所以a4，故双曲线方程为1，则渐近线方程为0.即2x3y0.答案：2x3y0或2x3y08已
4、知双曲线1的一个焦点是(0，2)，椭圆1的焦距等于4，则n_解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，又椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案：59(2015高考湖南卷)设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析：不妨设F(c，0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c，2b)又点P在双曲线上，则1，故5，即e.答案：10(2016南昌模拟)过原点的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的左
5、、右两支分别相交于A，B两点，F(，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|FB|4，0，则双曲线C的方程是_解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F2(，0)，连接F2A，F2B，由双曲线的对称性和0知四边形AFBF2为矩形，由|FA|FB|4得|FA|AF2|4，又因为|FA|AF2|2a，所以|FA|2a，|F2A|2a，由|F2A|2|FA|2(2a)2(2a)2(2)2，得a22，b21，所以双曲线的方程为y21.答案：y2111已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因
6、而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.12设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，所以一条渐近线方程为yx.即bx2y0.所以.所以b23，所以双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则
7、x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.所以所以所以t4，点D的坐标为(4，3)1(2016南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0解析：选A.由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1
8、F230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos 30，得ca，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.2设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_解析：c，由题意得A(a，0)，F(c，0)，不妨设B，C.由于kAC，kAB，从而过B且与AC垂直的直线为y(xc).过C且与AB垂直的直线为y(xc).联立，解得xc.由题意，得cac，即b2a2，1.设该双曲线渐近线的斜率为k，则k21，又k0，所以0k1或1k
9、0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线C：1过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，所以tan 30.于是e211，所以e.(2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)，即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|22，解得k21.故所求双曲线C的方程为y21.
