《随机过程考试真题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程考试真题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.1、设随机过程X (t)R tC ， t(0,) ， C 为常数， R 服从 0,1 区间上的均匀分布。（ 1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数；（ 2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设 W (t ),t是参数为2 的维纳过程， R N (1,4) 是正态分布随机变量；且对任意的t， W (t ) 与 R 均独立。令X (t )W (t )R ，求随机过程X (t ),t的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商场营
2、业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.70P00.20.80.700.3（1）求两步转移概率矩阵P (2) 及当初始分布为PX011,PX02PX030时，经两步转移后处于状态2 的概率。（ 2）求马尔可夫链的平稳分布。5 设马尔可夫链的状态空间I1,2,3,4,5 ，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.7000101/16.求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设N (t ), t0 是参数为的泊松过程，计算E N (t )N (ts) 。7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni 记在i第层进
3、入电梯的人数。假定N i相互独立，且 N i 是均值为i 的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电梯，pij1 。令 O j 在第j层离开电梯的人数。j i（ 1）计算 E(O j )（ 2） Oj 的分布是什么（ 3） Oj 与 Ok 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3 点上作随机游动。若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 t ,th) 内，它都以概率ho( h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t) 及平稳分布。1 有随机过程 (t)， - t 和 (t)， - t ，设(t)= A sin(t+)，
4、(t)= B sin(t+ ),其中A，B， 为实常数，均匀分布于0， 2 ，试求R(s,t)2（ 15 分）随机过程( )=Acos(t+)，- t+，其中A, ,是相互统计独立的随机变量，tEA=2,DA=4,是在 -5, 5上均匀分布的随机变量，是在 - ， 上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。3 某商店顾客的到来服从强度为4 人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00 开门，试求：（ 1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（ 2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。4 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（
5、用1 表示）、正常（用 2表示）、畅销（用 3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关， 且其状态转移概率为pijij表示从销售状态i 经过一个月后转为销售（ p2/16.状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为：11022511P993121636试对经过长时间后的销售状况进行分析。5 设 X(t),t 0是独立增量过程 , 且 X(0)=0, 证明 X(t),t 0是一个马尔科夫过程。6 设 N(t),t0 是强度为的泊松过程， Yk ,k=1,2, L是一列独立同分布随机变量，且N(t)与 N(t),t 0独立，令 X(t)=Yk , t 0 ，
6、证明：若 E(Y12 ) ，则 E X(t)tE Y1k=17.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 设t ,t是平稳过程，令tt cos0 t,t，其中0是常数，为均匀分布在0,2 上的随机变量，且t ,t与相互独立，R( )和 S( )分别是t ,t的相关函数与功率谱密度，试证：（1）t ,t是平稳过程，且相关函数：R1 Rcos02（2）t ,t的功率谱密度为：S1S0S049 已知随机过程(t )的相关函数为：3/
7、16.2R e ，问该随机过程 (t )是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程X (t)R tC ， t(0,) ， C 为常数， R 服从 0,1 区间上的均匀分布。（ 1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数；（ 2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】x（1） F ( x)f (t )dt ，则 f (t ) 为密度函数；1（2） X (t) 为 ( a, b) 上的均匀分布，概率密度函数f ( x)b a , a x b ，分布函数0,其他0, xaa)2F ( x)xa ,ax b ， E( x)ab ， D (x)(b；bab2121, x（3
8、）参数为的指数分布，概率密度函数f (x)ex , x0 ，分布函数0, x 0F ( x)1 e x , x 0 ， E( x)1 ， D (x)12 ；0, x 01( x)2（4）E(x), D ( x)2的正态分布， 概率密度函数f ( x)e 22,x，21x(t)220,1时，其为标准正态分布。分布函数 F ( x)e 2dt,x，若2【解答】本题可参加课本习题2.1 及 2.2 题。4/16.（1）因 R 为 0, 1 上的均匀分布，C 为常数， 故 X (t) 亦为均匀分布。 由 R 的取值范围可知，X (t) 为 C, Ct 上的均匀分布， 因此其一维概率密度 f (x)1,
9、C x C t ，一维分布t0, 其他0, xC函数 F ( x)x C , CX C t ；tCt1, x（2）根据相关定义，均值函数mX (t )EX (t)tC ；2相关函数 RX (s,t )E X (s) X (t)1stC (st) C 2 ；32协方差函数 BX (s,t )E X (s)mX (s) X (t)mX (t )stt 时为方差函数）（当 s12【注】 D(X)E(X2)E 2 ( X ) ； BX (s,t ) RX (s,t ) mX ( s) mX (t )求概率密度的通解公式f t( )f(y) |y( )|f(y) / |x (y) |xx2、设 W (t ),对任意的tt是参数为， W (t )2 的维纳过程，R 与R均独立。令N (1,4)X (t )是正态分布随机变量；且W (t )R ， 求 随 机 过 程X (t ),t
