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1、2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第 一 试1.设A、B是两个非空的有限集，全集，且U中含有m个元素.若()()中含有n个元素，则中所含元素的个数为_.解：.注意到，()()=()，由韦恩图知，中含有个元素.2.已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.则 的值是_.解：.由题设及正弦定理，得 故 = .3.在直角坐标系中，已知三点 .若向量与在向量方向上的投影相同，则的值是_.解：2.方法1向量 、在向量方向上的投影分别为.依题意得 = ，即.故.方法2因为向量与在向量方向上的投影相同，所以 ABOC，即 = 0.所以，即3a 4b = 2.4
2、.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45，则相邻两侧面所成角的余弦值为_.解：. 如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即. 过点A作AFPC，垂足为F，由对称性知，BFPC，故AFB为侧面PAC与PBC所成的角. 在等腰直角EFC中，. 所以. 在AFB中，cosAFB = .5.已知三个互不相等的整数x、y、z之和介于40与44之间，若x，y，z依次构成公差为d的等差数列，依次构成公比为q的等比数列，则dq的值是_.解：42.由，得.又由 ，得，即.因为，所以.又，所以.因为y为整数，所以.从而.所以 .故dq = 4
3、2.6.设点P、Q分别在直线和上运动，线段PQ的中点为，且.则的取值范围是_.解：1，3) .方法1设P()、Q()，则，且 .两式相加，得，即.所以，则.从而，在上单调递增.故1.方法2易知，点M在直线上.又点M的坐标满足，所以点M在如图2所示的射线：y=3x-4 (x2)上，其中点.因为表示射线上的点与原点O连线的斜率，所以.7.在一个圆上随机取三个点，顺次连结成一个三角形，则该三角形为锐角三角形的概率是_.解：.不妨设ABC是半径为1的圆的任一内接三角形，A、B所对的弧长分别为x、y，则有 ， .这个不等式组表示如图3所示的POQ区域（不含边界），其面积为.若ABC为锐角三角形，则x、y
4、满足 ， ， .这个不等式组表示如图3所示的DEF区域（不含边界），其中D、E、F分别为OP、OQ、PQ的中点，其面积为.故所求概率为.8.设，则M的个位数字为_.解：1.设a、b为正整数，则的个位数字与的个位数字相同.从而，的个位数字与的个位数字相同为3.所以的个位数字与的个位数字相同为3.又的个位数字与的个位数字相同为8，故M的个位数字与的个位数字相同为1.9.若对任意，都有，则的值是_.解：.方法1由题设知，对任意，都有 ，其中，项的系数为，. ， ， ， ，所以 ， 解得 ， ， ， . . 故.方法2在已知等式中，令，得.代入已知等式，化简得.令，得.代入上式，化简得.再令，得.用同样的方法，得，.故.10.若则_.解：4.(1)若存在正整数j，使得(，5，规定)，则.上式等号可以成立.例如，取，.(2)若对任意正整数i，都有(，5，规定)，则要么且，要么或.如果且，则有，矛盾.因此，或.对以上两种情况，都有.从而，.综合(1)、(2)，M的最大值为4.
