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1、3线性方程组解的结构定义2若一个线性方程组的常数项都等于 组.我们看一个齐次线性方程组升为 812X2 a2iXi 822X2 I I IIIamiXi am2X2这个方程组总是有解，显然就是方程组（4.4）的一个解，这个解叫做零解， 解.0,那么这个线性方程组叫作齐次线性方程ainXnU,a2nXn0,amn Xn0.(4.4)若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到.定理4一个齐次线性方程组（4.4）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n.定义3设1,2,|,是齐次线性方程组（4.4）的r个
2、解向量，如果满足下列条件:（1）1,2,r线性无关；（2）方程组（4.4）的任意一个解向量者B能由1,2,|,线性表出则1,2,|,r称为齐次线性方程组（4.4）的茎硼解系.易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组定理5齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r,其中 证设齐次线性方程组r是系数矩阵的秩.（4.4）的系数矩阵为由定理4知秩rvn.对A进行行初等变换，A可化为与之对应的方程组为X1G,r1X.1Cm%0,(4.5)X2C2,r1Xr1C2nXn0mmXrcr,r1Xr1cm0令Xr1,Xr2,|“,Xn为自由未知量，得X1
3、X2Xrc1,r 1 Xr 1C2,r 1Xr 1mmcr,r 1Xr 1IIIIIIc1nXn, GnA，Qn Xn .(4.6)我们取由（4.6）可得从而得到（4.4）的nr个解下面我们证明&,&,口，A就是（4.4）的基础解系.首先，这nr个解向量显然线性无关.其次，设（ki,k2,|“,kn）是方程组（4.6）的任意解，代入方程组（4.6）得于是*kr11kr22knnr,因此方程组（4.6）的每一个解向量，都可以由这nr个解向量&,&J,备r线性表示，所以&,&,|,&r是方程组（4.6）的一个基础解系，由于方程组（4.4）与方程组（4.6）同解,所以自,&,|,&r也是方程组（4.
4、4）的基础解系.定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法推论（齐次线性方程组解的结构定理）齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.例6解齐次线性方程组解齐次线性方程组的系数矩阵为对A进行行初等变换，得由此可看出，r=2V4,故有非零解，其对应的方程组是把Xi,X4看作自由未知量，令得从而得基础解系由此，得方程组的通解为XGac2&（其中。,c2为任意实数）.例7入取何值时，方程组有非零解，并求其通解.解由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为当|A|=0，即入=
5、1,4时，有非零解.将入=1代入原方程，得方程组的系数矩阵得同解方程组把X3看作自由未知量，令X3=2从而得基础解系所以，方程组的通解为x=kE(k为任意实数).同理，当入=4时，可求得方程组的通解为3xk1(k为任意实数).1例8设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组的解，求人的值和|B|.解由于B是一个三阶非零矩阵，所以B中至少有一列向量不是零向量，又由于B的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式所以入=1.当入=1时，秩R(A)=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B的三个列向量必线性相关，得|B|=0.下面讨论非齐次线性方程组.a12X2a22X
6、2am2X2ai nXna2nXnamnxnb,b2,bm(4.7)线性方程组aiiXa2ixiamixl称为非齐次线性方程组(b,b2U|,bm不全为0).如果把它的常数项都换成0,就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(4.7)的导出方程组，简称导出组.非齐次线性方程组(4.7)的解与它的导出组的解之间有如下关系.定理6(非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组(4.7)有解，那么方程组(4.7)的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组(4.7)的一个解，方程组(4.7)的任意解都可写成方程组(4.7)的一个特解与它的导出方程组的解之和.证设则方程组(4.7)可表示为Ax=
7、b,它的导出组可表示为Ax=0.设(Ci,C2,|,Cn)是方程组(4.7)的一个特解，=(di,d2,|1,dn)是它的导出组的一个解，于是有那么所以是方程组(4.7)的一个解，设(l112Ml,ln)是方程组(4.7)的任意解，那么A()=Ab0b.因此=是导出组的一个解，从而由定理可知，对于非齐次线性方程组(4.7)在rn时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得(4.7)的全部解.一般求(4.7)的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.例9试求的全部解.解对增广矩阵进行行初等变换由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2,故有解.由前述知对应的齐次线性方程组的基础
8、解系（去掉常数列）为303令x3x4x50,得非齐次线性方程组的一个特解为-y,-,0,0,0（不能忽略常数列），于是它的全部解（一般解）为其中ki,k2,k3为任意实数.（项）的处理！最注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证例10设线性方程组试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解对增广矩阵进行行初等变换（1）当（p1）tw0dpwl,tw044,有惟一解1 -（2）当p=1,且14t+2pt=12t=0即t=时，方程组有无否多解，此时2于是方程组的一般解为2 1x2k0（k为任意常数）.01当p=1,但14
9、t+2pt=12tw0,即tw12时，方程组无解（4）当t=0时，14t+2pt=1w0,故方程组也无解.习题四1 .用消元法解下列方程组.x3x22x30,Xi5x2X30,3x15x28X30;XiX25x3X40,XiX22x33x40,3x1X28X3X40,Xi3x29X37x40;x12x22x332x4X50,x12x2X33x42x50,2x14x27x3,X4X50.(2)3xi 2x2 2x3 3x41,x1 2x2 3x3 3x4 8;x14x22x33x46,2%2x24x42,2 .求下列齐次线性方程组的基础解系x13x22x30,Xi5x2x30,(2)3x15x2
10、8x30;为x22x32x47x50,2x13x24x35x40,3xi5x26x38x40;3 .解下列非齐次线性方程组4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间系数、车123出厂产量（万元）总产量（力兀）10.10.20.4522xi20.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第Xi X2 2x3 1,2x1 x2 2x3 4,Xi 2x2 3,4x1 x2 4x3 2;(2)2x1x2x3x41,4x12x22x3x42,2x1x2*3x
11、41；x2x3x4%2x2 x3 x41,xi7,x1 2x21,3x12x2x3x4 3%2,xi2x2x3x45；x2 2x3 2x4 6x5 23,5x14x2 3x3 3x4 x5 12.三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量5 .入取何值时，方程组（1）有惟一解，（2）无解，（3）有无穷多解，并求解6 .齐次方程组当入取何值时，才可能有非零解？并求解.7 .当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.x12x23x3x4x1x2x3 x4x1 x2 2x3 3x41(1)123(2)3K x2 & 2
12、x4 ax2 2x3 2x4 1x2 (a 3)x3 2x4 b2x1 3x2 & bM63x1 2x2 x3 ax418 .设A224，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.9 .已知1,2,3是三元非齐次线性方程组Ax巾的解，且R（A）=1及求：方程组Ax=b的通解.10 .求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成23(1)匕=1,&=0；01121232(2)仆0 ,&= 2,33 = 1 .35213211.设向量组 1 =：(1, 0, 2,3),2=(1,1, 3, 5),3= (1, 1, a+2, 1),4=(1,2,4,a+8),=(1,1,b+3,5)问：（1） a
13、, b为何值时,不能由2,3,4线性表出？（2） a, b为何值时,可由1,2,3 ,4惟一地线性表出？并写出该表出式（3） a, b为何值时,可由1,2，3，4线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.12.证明：线性方程组5有解的充要条件是ai0.i113.设*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,&,&|,3r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1） *，&，&r线性无关;*（2） ,+自,|“，+小线性无关.14.设有下列线性方程组（I）和（n）x1 mx2 x3 x4x1x22x46nx2 x2 2x411x3 2人 1t（i）4x1x2x3x41（n）3x1x2x33求方程组（I）的通解；（2）当方程组（n）中的参数m,n,t为何值时,（i）与（n）同解?
