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1、3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标1直观了解微积分基本定理的含义2会求简单的定积分3会用定积分的知识解决一些简单的应用问题二建构知识网络1.定积分的定义如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式_当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作_，在中，_和_分别叫做积分下限和积分上限，_叫做被积函数，叫做积分变量，_叫做被积式2定积分的性质（1）_（为常数）；（2）_；（3）_（其中）3微积分基本定理一般地，如果是闭区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，可以把记作_，即_4通过定
2、积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于_；（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于_；（3）当位于轴上方的曲边梯形的面积等于当位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为_；定积分的值等于位于轴上方的曲边梯形的面积_位于轴下方的曲边梯形的面积4定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：轴及一条曲线围成的曲边梯形的面积为_： 若在 区间上，则_ 若在 区间上，在 区间上，则_5匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即_6变力作功公式 ：一
3、物体在变力（单位：N ）的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动（单位：m ），则力所做的功为_三、双基题目练练手1.下列值等于的积分是( ) 2. 的值（）3如图，直线与抛物线相交，则阴影部分面积为（ ）4= （ ）（）ABCD5若，且a1，则a的值为（）A6B4C3D26已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A B C D7 四、经典例题做一做【例1】（1） （2）（3） （4）【例2】求两曲线和所围成图形的面积【例3】一物体在做变速直线运动，其曲线如图所示，求该物体在间的运动路程【例4】如图，阴影部分的面积是 （ ）ABCD【例5】抛物线：，若过原点的直线l与抛
4、物线所围成的图形面积为，求直线l的方程 五 提炼总结以为师1用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想2用微积分基本定理求定积分：关键是找到满足的函数，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出3利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分4在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限5要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，
5、也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如：当函数在区间上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边梯形的面积，一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图象以及之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方和面积取负号6体会定积分的化归和逼近的思想方法同步练习 1下列有定义的定积分为（ ）ABCD2（2007年山东潍坊）（）A0BCD3设a 0，a 1，若，则a等于（）A B C D4（2007年广东潮州）已知为偶函数且，则（）A0 B4 C8 D165的值等于 （ ）A B C D
6、 6（2007年广东汕头） 7使成立的所有可以表示为8（2006年山东潍坊）汽车从A处起以速度（其中均为正的常数）开始减速度行驶，至B点停止，则A、B之间的距离9由及围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选为积分变量，利用定积分应表达为 .10求下列定积分的值（1）； （2）；11.已知，求的最大值12.一质点在直线上从时刻开始以速度运动求（1）在的位置；（2）在内运动的路程3.3 定积分基础自测1.当n无限趋近于+时，(sin+sin+sin)写成定积分的形式，可记为 .答案 sinxdx2.1dx= .答案 13.由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的面积为
7、 （用定积分表示）.答案 lnydy或(2-ex)dx4.已知f(x)为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx= .答案 165.已知-1a1，f（a）=（2ax2-a2x）dx，求f（a）的值域.解 f(a)= (2ax2-a2x)dx=(-)|=-+=-(a-)2+.-1a1，-f（a），故f(a)的值域为例1 计算下列定积分（1）x(x+1)dx;(2) (e2x+)dx;(3) sin2xdx.解 （1）x（x+1）=x2+x且(x3)=x2,(x2)=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(23-0)+(22-0)=.(2)(lnx)=,(e2x
8、)=e2x(2x)=2e2x,得e2x=(e2x)所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)=cos2x(2x)=2cos2x,得cos2x=（sin2x）,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2 -sin0）=.例2 计算下列定积分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解 （1）（-cosx）=sinx，|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx|+cosx|=-（cos-co
9、s0）+（cos2-cos）=4.（2）0x2，于是|x2-1|=|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（23-2）-（-1）=2.例3 求函数f(x)=在区间0，3上的积分.解 由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4 （14分）求定积分dx.解 设y=,即(x-3)2+y2=25 (y0).5分dx表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分dx=.14分1. 求(cosx+ex)dx.解 (cosx+ex)dx=cosxdx+exdx=sinx|+ex|=
10、1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解 设y=|x-1|+|x-3|=(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f(x)=求f(x)dx.解 f(x)dx=2(x+1)-1 dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+ =2ln2+(2-1)+ .4. （-x）dx= .答案 一、填空题1.定积分dx= .答案 62.若y=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为 （用
11、定积分表示）.答案|f(x)-g(x)|dx3.定积分(32x+3)dx= .答案 4.设函数f（x）=则f（x）dx= .答案 5.定积分2(x3+5x5)dx= .答案 06.根据sinxdx=0推断，直线x=0，x=2，y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x轴上方的面积 在x轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案 等于7.若f(x)dx=1, f(x)dx=-1,则f(x)dx= .答案 -28.定积分dx的值是 .答案 ln2二、解答题9.求下列定积分的值(1) dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解 （1）dx表示以y=与x=
12、0,x=3所围成图形的面积，而y=与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为.（2）f（x）=f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，f（0）=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解 由f（-1）=2，得a-b+c=2，又f(x)=2ax+b,由f(0)=0得b=0,f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2，由得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解 (2ax2-a2x)dx=(ax3-a2x2)|=a -a2即f(a)= a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以当a=时，f(a)有最大值.12.(2009青岛模拟)对于函数f(x)=bx3+ax2
