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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 2.3数学归纳法课时作业 新人教B版选修2-2一、选择题1用数学归纳法证明1qq2qn1(nN*，q1)，在验证n1等式成立时，等式左边的式子是()A1B1qC1qq2D1qq2q3答案C解析左边1qq111qq2.故选C.2用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从nk到nk1，左边的式子之比是()A.BC.D答案B解析 .故选B.3用数学归纳法证明(n2，nN*)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了一项B增加了两项C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对答案C解析nk时，左边，
2、nk1时，左边增加了，减少了一项.故选C.4设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k2Df(k1)f(k)k答案D解析因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k个交点，故交点个数为f(k)k.5某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN*)时该命题成立，则可推得nk1时该命题也成立，现已知n5时命题不成立，那么可推得()A当n4时该命题不成立B当n6时该命题不成立C当n4时该命题成立D当n6时该命题成立答案A解析由命题及
3、其逆否命题的等价性知选A.6等式122232n2(5n27n4)()An为任何正整数都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立答案B解析经验证，n1,2,3时成立，n4,5，不成立故选B.7(2015枣庄一模)用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析当nk时，左边123k2.当nk1时，左边123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.8用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9
4、整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除二、填空题9(2015辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到_答案12222k12k2k1110用数学归纳法证明当nN时，12222325n1是31的倍数时，当n1时原式为_，从kk1时需增添的项是_答案1222232425k25k125k225k325k411使不
5、等式2nn21对任意nk的自然数都成立的最小k值为_答案5解析2532,52126，对n5的所有自然数n,2nn21都成立，自己用数学归纳法证明之三、解答题12已知f(n)1，nN，求证：nf(1)f(n1)nf(n)(n2且nN)证明(1)当n2时，左边2f(1)3，右边2f(2)3，等式成立(2)假设nk时，kf(1)f(k1)kf(k)当nk1时，k1f(1)f(k1)f(k)1f(k)kf(k)(k1)f(k)1(k1)(f(k)(k1)f(k1)即nk1时，命题成立根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)”，则
6、“从k到k1”左端需乘的代数式为()A2k1B2(2k1)C.D答案B解析nk时左式(k1)(k2)(k3)nk1时左式(k2)(k3)(2k1)(2k2)故“从k到k1”左端需乘2(2k1)故选B.2已知数列an，a11，a22，an12anan1(kN*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除答案D解析在数列a4n中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k4.故选D.3(2015锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()An1成立Bn2成立Cn3成立Dn4
7、成立答案C解析多边形的边数最少是3，即三角形，第一步验证n等于3.4用数学归纳法证明3kn3(n3，nN)，第一步应验证()An1Bn2Cn3Dn4答案C解析n3，nN，第一步应验证n3时，命题成立二、填空题5用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，待证表达式应为_答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)26用数学归纳法证明：12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，不等式成立；假设nk时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式
8、成立由此可知对任意正整数n，等式都成立以上证明错在何处？_.答案没有用上归纳假设解析由数学归纳法证明步骤易知其错误所在7设S112，S2122212，Sn122232n22212.用数学归纳法证明Sn时，第二步从“nk到nk1”右边应添加的项为_答案解析Sk1Sk.三、解答题8在数列an中，a1a21，当nN*时，满足an2an1an，且设bna4n，求证：bn的各项均为3的倍数证明(1)a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.b1a43，当n1时，b1能被3整除(2)假设nk时，即bka4k是3的倍数则nk1时，bk1a4(k1)a(4k4)a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4k3a4k12a4k.由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk1是3的倍数nk1时命题正确综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列bn的各项都是3的倍数9若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论解析取n1，令，得a.n1时，结论已证假设nk(kN)时，则当nk1时，有()()，0.，即nk1时，结论也成立由可知，对一切nN，都有.故a的最大值为25.
