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1、课时素养评价 十三基本不等式的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知a0,b0,a+b=2,则对于+()A.取得最值时a=B.最大值是5C. 取得最值时b=D.最小值是【解析】选A、D.因为a+b=2,令y=+=+=+2+2=,当且仅当=且a+b=2,即a=,b=时,取“=”.2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=B.xC.xD.x【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)
2、,所以1+x1+,故x.3.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0【解析】选A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x0,y0.所以x+2y=(x+2y)=+44+4=8.4.若对任意x0,a恒成立,则a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为对任意x0,a恒成立,所以对x(0,+),a,又因为x(0,+),所以=,当且仅当x=1时等号成立,所以a.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是_,取得最大值时a的值为_.【解析】因为A(
3、2,0),B(0,1),所以0b1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b= 2(1-b)b2=.当且仅当1-b=b,即b=时等号成立,此时a=1,因此当b=,a=1时,ab的最大值为.答案:16.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是_.【解析】设每次购买该种货物x吨,则需要购买次,则一年的总运费为2=(万元),一年的总存储费用为x万元,所以一年的总运费与总存储费用为+x2=40(万元),当且仅当=x,即x=20时等号成立
4、,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.答案:20三、解答题(共26分)7.(12分)已知a0,b0,a+b=1,求证:(1)+8.(2)9.【证明】(1)因为a+b=1,a0,b0,所以+=2.所以+=+=2+2+2=4,所以+8(当且仅当a=b=时等号成立).(2)方法一:因为a0,b0,a+b=1,所以1+=1+=2+,同理1+=2+,所以=5+25+4=9.所以9(当且仅当a=b=时等号成立).方法二:=1+,由(1)知,+8,故=1+9.当且仅当a=b=时取等号 .8.(14分)如图,某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两
5、侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?【解析】设矩形的一边长为 x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.由得4x10.即两次所得黄金数大于10 g.2.(4分)已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若x=,y=是方程y=x的解,则=()A.-1B.C.2D.3【解析】选B.+=(m+n)=1+16=17+17+2 =25当且仅当=,且m+n=1,即m=,n=时,上式取等号,即+取得最小值时,m=,n=,所以=,得=.3.(4分)如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印
6、刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是_dm2.【解析】设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+28+22=56(dm2).当且仅当x=,即x=12 dm时等号成立.答案:564.(4分)设a+b=2,b0,则+取最小值时,a的值为_.【解析】因为a+b=2,所以+=+=+=+2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b0,所以当b=-2a,a=-2或b=2a,a=时,+取得最小值.答案:-2或5. (14分)已知正数a,b,x,y满足a+b=10,+
7、=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.【解析】x+y=(x+y)=a+b=10+.因为x,y0,a,b0,所以x+y10+2=18,即=4.又a+b=10,所以或1.若a0,b0,且a+b=1,则的最小值是()A.9B.8C.7D.6【解析】选A.=+1=+1=+1+1=9.所以当a=b=时,原式取最小值9.2.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元
8、.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【解析】(1)设每件定价为x元,依题意得x258,整理得x2-65x+1 0000,解得25x40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意不等式ax258+50+(x2-600)+x有解,等价于x25时,a+x+有解,因为+x2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a10.2.所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
